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“平行线可以相交”这件事在我们现在看来，很多人都无法理解，这是因为我们知识的局限性造成的。
我们初中所学习到的平面几何学以欧几里得几何学为框架，其中对平行线的定义就是在二维平面内两条不相交的直线。
而关于直线的定义是，在二维平面上的两个点之间有且只有一条直线，也就是我们常说的两点确定一条直线。
这么看来在欧式几何学中，平行线可以无限延长，且永远不会相交。这种说法很符合人类的直觉常识，也很容易被人们接受，且深信不疑。
不仅是我们，几千年来大部分的数学家也是这样认为的。因此欧式几何学也顺势统治了人类数学史数千年的时间。
那么平行线为何又可以相交呢？这是怎么回事？这个问题涉及到了几何学的一个重大发现和突破，也不得不提一位俄罗斯数学界的牛人：罗巴切夫斯基。
1826年2月23日，34岁的罗巴切夫斯基在自己任教的喀山大学举办的一次学术讨论会上宣读了自己的一篇论文。
参加此次学术会议的都是当时数学家的大咖，其中不乏一些已经在学术界很有成就，资历比较老的前辈。
在他们眼里罗巴切夫斯基是一位在学术上非常严谨、诚实、富有才华的青年数学家，未来可期。他们也很期待罗巴切夫斯基的学术报告。
负曲率二维表面三角形内角和小于180°，且可以作已知直线的无数条平行线
在做了简短的开场白以后，接下来罗巴切夫斯基所说的话，令当时在场的所有数学家惊愕不已，罗巴切夫斯基所做的报告不仅完全超出了当时数学界的认知，且每一句话都在挑战着人们的常识。
例如罗巴切夫斯基提出：在一个二维的面上三角形的内角之和可以小于180°，当然也可以大于180°；由两条直线组成的锐角，向一边作垂线，这个垂线可以和另外一条边不相交；
正曲率表面，三角形内角和大于180°，无法作平行线
在一个二维面内，过直线外的一点，可以做多条直线与已知直线平行；当然也存在无法做平行线的情况，也就是说在一个二维面上，没有真正的平行线，任何两条直线都有一个共同的交点（平行线相交）。
看了以上的说法是不是很懵，不要慌张，当时在座的所有数学家都被惊掉了下巴，无人能理解罗巴切夫斯基在说什么。
但罗巴切夫斯基说这些看起来奇怪的说法是新的几何学，虽然和欧式几何相互冲突，但是它和欧式几何有着同等重要的地位，并请求同行对他的报告提出评议。
但此时的会场一片寂静，所有的人都流露出了怀疑、否定的态度，不敢相信这么胡扯的话能出在一位治学严谨的数学家之口。
那么罗巴切夫斯基到底说的是什么？它又发现了什么？
上文中我们不断的提到欧式几何，它是公元3世纪由古希腊学者欧几里得编写的一部数学界的旷世巨著《几何原本》。
欧几里得的几何学中，一开始写了5条公设（公理），并在此基础上进行逻辑推理导出了48个命题。公设的意思是那些不用去证明的真理。
这五条公理我们非常熟悉，这是学习几何时必须掌握的知识，其中前四条公理人们看着十分满意，但是唯独第五条（论平行线的）人们怎么看怎么不舒服。
并不是觉得它不对，就是感觉这个语句如此之长一点也不简洁，看起来更像是一条可以被证明的定理，而不是公理。
并且后来的学家也认为，是当时欧几里得无法给出这条定理的证明，投机取巧才把它写进了公理。如此想法一出，数学界就开始了长达数千年利用前四条公理去证明第5公理的道路。
在一个球面，两点之间可以作无数条直线。
但是直到19世纪初，所有的数学家都逃不过循环论证的噩梦，证明第5条公理就成为了数学家的一大历史遗留问题。
身为数学家的罗巴切夫斯基当然也加入了其中，不过他一样也发现第五条公理怎样都无法证明。但是理论的进步往往都自于一瞬间的灵光乍现。
既然无法证明，那是不是就说明证明的第五条公理的过程根本就不存在，我们去找一件本身不存的事情当然是徒劳。人类花了几千年，就算是再过上万年也会无果。
为了证明第五公理不可证明，罗巴切夫斯基首先否定了第五公理，把他更改为一条新的公理，即：过直线外的一点可以做已知直线，至少两条平行线。
将这个新的公理和前四条公理结合在一起，罗巴切夫斯基从头开始了新的逻辑推理，并发现得出来的结论虽然古怪，但是在理论上并不矛盾，而且与前四条公理完美的相容。
这只能说明，新结论和欧式几何同样具有同等的地位，且是一个完整、逻辑严密的新几何。新几何的存在也说明了第五公理并不是公理，也不是定理，它只能是一个对平行线的定义，不同的定义可以导出不同的结论，因此也无法证明。
这个新的几何学就是我们大学时学到的非欧几何，适用于弯曲的时空。罗巴切夫斯基根据他对平面内平行线的定义所得出来的几何学也被称为罗氏几何。
主要描述的是负曲率空间的几何学，虽然这是一个伟大的发现，但是由于当时人们根本找不到现实世界的类比物来理解罗氏几何。
因此罗巴切夫斯基的新发现得到的是一片冷嘲热讽，甚至是人身攻击，甚至是被当时的俄国教育部开除了公职，迫使他离开了最喜爱的大学校园。
长年的苦闷和压抑使得罗巴切夫斯基在晚年百病缠身，甚至失明。1856年罗巴切夫斯基带着遗憾和无奈走完了自己的一生。这时他的新几何学依然没有被人们认可，在追悼会上人们对他在非欧几何上的贡献也是只字不提，刻意回避。
1854年黎曼更改了第五条公理，即：在一个二维平面内，不存在平行线的存在，得出了黎曼几何。黎曼几何描述的是正曲率空间的几何学，也被称为椭球几何学。
1864闵可夫斯基提出了不同以往的绝对平坦时空，称为闵式四维时空，1868年数学家贝特拉米证明的非欧几何可以在闵式四维时空的曲面上实现。
到了二十世纪初，爱因斯坦在闵式四维时空以及非欧几何的基础上提出了相对论，为人们重新塑造了整个宇宙的时空结构。
平坦的时空只不过是宇宙中小尺度上的特例，而在大尺度上不存在所谓的平坦时空，因此非欧几何才是宇宙的本质。
宇宙曲率
整个宇宙存在一定的曲率，虽然我们观察到的宇宙近似于平坦，这只能说明我们观察的尺度较小，从整个宇宙的尺度上来说，是不存在绝对的平行线，无限延长的两条线会因为宇宙的曲率相交或者发散。
因此欧式几何就像是牛顿力学，非欧几何更像是相对论。人们当时难以接受非欧几何不亚于难以接受相对论的程度。
2. 平行线的总结四年级画平行线的口诀可以总结为:“一落”、“二靠”、“三移”、 “四画”。
1.
固定三角尺，沿着一条直角边画一条直线，记作直线；
2.
直尺紧贴三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺；
3.
沿刚才画直线的直角边画出另一条直线m。这样就画出了两条平行线。
3. 关于平行线的数学小论文首先是数学绘图软件，个人觉得几何画板这款软件是比较好的，不仅可以画简单的平面几何图形，也可以构造复杂的空间立体几何图形，利用其中的点、线、圆工具和多边形工具等，可以画出各种几何图形，还可以借助其中的构造命令构造出平行线、垂线和圆等，总之可以在短时间内画出需要的几何图形。
其次，数学公式可以借助专业的公式编辑器MathType来完成，这个软件界面非常清晰，在公式编辑区域上方都是公式模版，模版下面还有很多可选模版，所以说包括的数学符号有太多了，不管是什么样的公式，都是可以用它编辑的。
4. 平行线的典型例题同底等高三角形面积相等
已知△ABC的面积为S，过A点做BC的平行线L。直线L上的任意点P和点C，B组成的新三角形的面积都等于S(平行线间距离相等)
5. 平行线 作文正确，是真命题。平行线间的距离是指其中一条线上的一点做另一条平行线的垂线，垂线段的长度就是两个平行线间的距离。例如，火车道上的枕木。还有大作文本上的竖格。说明了平行线间的距离处处相等。可以在平行线上取两个点。分别走另一条平行线的垂线。然后就组成一个矩形。矩形的对边是平行且相等。又是另外两个平行线的垂线。也说明平行线间的距离处处相等。
6. 关于平行线理论的探讨平行线可以相交”这件事在我们现在看来，很多人都无法理解，这是因为我们知识的局限性造成的。
我们初中所学习到的平面几何学以欧几里得几何学为框架，其中对平行线的定义就是在二维平面内两条不相交的直线。
而关于直线的定义是，在二维平面上的两个点之间有且只有一条直线，也就是我们常说的两点确定一条直线。
这么看来在欧式几何学中，平行线可以无限延长，且永远不会相交。这种说法很符合人类的直觉常识，也很容易被人们接受，且深信不疑。
不仅是我们，几千年来大部分的数学家也是这样认为的。因此欧式几何学也顺势统治了人类数学史数千年的时间。
那么平行线为何又可以相交呢？这是怎么回事？这个问题涉及到了几何学的一个重大发现和突破，也不得不提一位俄罗斯数学界的牛人：罗巴切夫斯基。
1826年2月23日，34岁的罗巴切夫斯基在自己任教的喀山大学举办的一次学术讨论会上宣读了自己的一篇论文。
参加此次学术会议的都是当时数学家的大咖，其中不乏一些已经在学术界很有成就，资历比较老的前辈。
在他们眼里罗巴切夫斯基是一位在学术上非常严谨、诚实、富有才华的青年数学家，未来可期。他们也很期待罗巴切夫斯基的学术报告。
负曲率二维表面三角形内角和小于180°，且可以作已知直线的无数条平行线
在做了简短的开场白以后，接下来罗巴切夫斯基所说的话，令当时在场的所有数学家惊愕不已，罗巴切夫斯基所做的报告不仅完全超出了当时数学界的认知，且每一句话都在挑战着人们的常识。
例如罗巴切夫斯基提出：在一个二维的面上三角形的内角之和可以小于180°，当然也可以大于180°；由两条直线组成的锐角，向一边作垂线，这个垂线可以和另外一条边不相交；
正曲率表面，三角形内角和大于180°，无法作平行线
在一个二维面内，过直线外的一点，可以做多条直线与已知直线平行；当然也存在无法做平行线的情况，也就是说在一个二维面上，没有真正的平行线，任何两条直线都有一个共同的交点（平行线相交）。
看了以上的说法是不是很懵，不要慌张，当时在座的所有数学家都被惊掉了下巴，无人能理解罗巴切夫斯基在说什么。
但罗巴切夫斯基说这些看起来奇怪的说法是新的几何学，虽然和欧式几何相互冲突，但是它和欧式几何有着同等重要的地位，并请求同行对他的报告提出评议。
但此时的会场一片寂静，所有的人都流露出了怀疑、否定的态度，不敢相信这么胡扯的话能出在一位治学严谨的数学家之口。
那么罗巴切夫斯基到底说的是什么？它又发现了什么？
上文中我们不断的提到欧式几何，它是公元3世纪由古希腊学者欧几里得编写的一部数学界的旷世巨著《几何原本》。
欧几里得的几何学中，一开始写了5条公设（公理），并在此基础上进行逻辑推理导出了48个命题。公设的意思是那些不用去证明的真理。
这五条公理我们非常熟悉，这是学习几何时必须掌握的知识，其中前四条公理人们看着十分满意，但是唯独第五条（论平行线的）人们怎么看怎么不舒服。
并不是觉得它不对，就是感觉这个语句如此之长一点也不简洁，看起来更像是一条可以被证明的定理，而不是公理。
并且后来的学家也认为，是当时欧几里得无法给出这条定理的证明，投机取巧才把它写进了公理。如此想法一出，数学界就开始了长达数千年利用前四条公理去证明第5公理的道路。
在一个球面，两点之间可以作无数条直线。
但是直到19世纪初，所有的数学家都逃不过循环论证的噩梦，证明第5条公理就成为了数学家的一大历史遗留问题。
身为数学家的罗巴切夫斯基当然也加入了其中，不过他一样也发现第五条公理怎样都无法证明。但是理论的进步往往都自于一瞬间的灵光乍现。
既然无法证明，那是不是就说明证明的第五条公理的过程根本就不存在，我们去找一件本身不存的事情当然是徒劳。人类花了几千年，就算是再过上万年也会无果。
为了证明第五公理不可证明，罗巴切夫斯基首先否定了第五公理，把他更改为一条新的公理，即：过直线外的一点可以做已知直线，至少两条平行线。
将这个新的公理和前四条公理结合在一起，罗巴切夫斯基从头开始了新的逻辑推理，并发现得出来的结论虽然古怪，但是在理论上并不矛盾，而且与前四条公理完美的相容。
这只能说明，新结论和欧式几何同样具有同等的地位，且是一个完整、逻辑严密的新几何。新几何的存在也说明了第五公理并不是公理，也不是定理，它只能是一个对平行线的定义，不同的定义可以导出不同的结论，因此也无法证明。
这个新的几何学就是我们大学时学到的非欧几何，适用于弯曲的时空。罗巴切夫斯基根据他对平面内平行线的定义所得出来的几何学也被称为罗氏几何。
主要描述的是负曲率空间的几何学，虽然这是一个伟大的发现，但是由于当时人们根本找不到现实世界的类比物来理解罗氏几何。
因此罗巴切夫斯基的新发现得到的是一片冷嘲热讽，甚至是人身攻击，甚至是被当时的俄国教育部开除了公职，迫使他离开了最喜爱的大学校园。
长年的苦闷和压抑使得罗巴切夫斯基在晚年百病缠身，甚至失明。1856年罗巴切夫斯基带着遗憾和无奈走完了自己的一生。这时他的新几何学依然没有被人们认可，在追悼会上人们对他在非欧几何上的贡献也是只字不提，刻意回避。
1854年黎曼更改了第五条公理，即：在一个二维平面内，不存在平行线的存在，得出了黎曼几何。黎曼几何描述的是正曲率空间的几何学，也被称为椭球几何学。
1864闵可夫斯基提出了不同以往的绝对平坦时空，称为闵式四维时空，1868年数学家贝特拉米证明的非欧几何可以在闵式四维时空的曲面上实现。
到了二十世纪初，爱因斯坦在闵式四维时空以及非欧几何的基础上提出了相对论，为人们重新塑造了整个宇宙的时空结构。
平坦的时空只不过是宇宙中小尺度上的特例，而在大尺度上不存在所谓的平坦时空，因此非欧几何才是宇宙的本质。
宇宙曲率
整个宇宙存在一定的曲率，虽然我们观察到的宇宙近似于平坦，这只能说明我们观察的尺度较小，从整个宇宙的尺度上来说，是不存在绝对的平行线，无限延长的两条线会因为宇宙的曲率相交或者发散。
因此欧式几何就像是牛顿力学，非欧几何更像是相对论。人们当时难以接受非欧几何不亚于难以接受相对论的程度。
7. 平行线的结论所谓平行线判定定理，就是如何证明两条直线具备互相平行的关系，教科书上列出的平行线判定定理包括三条，分别是先证明“一组同位角相等”、或者“一组内错角相等”，或者“一组同旁内角互补”，由此就可以推理得到“两条直线互相平行”的结论。
平行线判定定理一
两条直线被第三条直线所截，如果截得的一组同位角相等，那么，这两条直线互相平行。我们可以简单说成“同位角相等，两直线平行”。同学们运用这条判定定理进行证明时，必须先在题目给出的图中准确地找到符合要求的一组同位角，所以，理解并掌握同位角的概念非常关键。所谓同位角，就是在第三条直线的同侧，而且在两条被截直线同侧的两个角。如果同学们能准确锁定一组相等的同位角，就能证明到两条被截直线互相平行。
平行线判定定理二
两条直线被第三条直线所截，如果截得的一组内错角相等，那么，这两条直线互相平行。这条定理可以简写为“內错角相等，两直线平行”。与上一条定理的运用方法相似，同学们必须理解并掌握内错角的概念，并准确地锁定符合要求的一组内错角。所谓內错角，就是分别位于第三条直线的两侧，而且夹在两条被截直线内侧的两个角。只要同学们在题目给出的图中找到一组相等的內错角，就能证明到两条被截直线具有互相平行的关系。
平行线判定定理三
两条直线被第三条直线所截，如果截得的一组同旁内角互补，那么，这两条直线互相平行。这条定理可以简单说成“同旁内角互补，两直线平行”。与前两条定理的运用方法相似，同学们要在题目给出的图中找到一组同旁内角。所谓同旁内角，就是位于第三条直线的同侧，而且夹在两条被截直线内侧的两个角。只要同学们找到一组具备互补关系的同旁内角，就能证明到“两条被截直线互相平行”的结论。
8. 关于平行线的论文1.拉格朗日年少的时候，想当个律师，但是一去上学，就被数学迷住了。本来他根本不指望自己能当个数学家的，因为他家里是经商的，而他又是长子，将来肯定要继承家业，没有机会和时间搞数学了。
这人后来回忆的时候说：“我家里破产了，那是我一生中最幸运的事之一。” 总之，他家里破产了，他可以自由自在的搞数学了。19岁的时候，这位年轻人就写信给欧拉，写了自己刚刚发现的几个数学成果。欧拉相当温柔地回信鼓励了他，但是顺便告诉他，他发现的那几个结果，早就被别人发现了。
他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。被誉为“欧洲最大的数学家”。
2.罗尔在数学上的成就主要是在代数方面，专长于丢番图方程的研究。他所处的时代正当牛顿、莱布尼兹的微积分诞生不久，由于这一新生事物不存在逻辑上的缺陷，从而遭受多方面的非议，其中也包括罗尔，并且他是反对派中最直言不讳的一员。
1700年，在法国科学院发生了一场有关无穷小方法是否真实的论战。在这场论战中，罗尔认为无穷小方法由于缺乏理论基础将导致谬误，并说：“微积分是巧妙的谬论的汇集”。瓦里格农、索弗尔等人之间，展开了异常激烈的争论。约翰.贝努利还讽刺罗尔不懂微积分。由于罗尔对此问题表现得异常激动，致使科学院不得不屡次出面干预。
直到1706年秋天，罗尔才向瓦里格农、索弗尔等人承认他已经放弃了自己的观点，并且充分认识到无穷小分析新方法价值。 罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了：在多项式方程 的两个相邻的实根之间，方程 至少有一个根。一百多年后，即1846年，尤斯托.伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理。
3. 蒲丰试验 一天，法国数学家蒲丰请许多朋友到家里，做了一次试验.蒲丰在桌子上铺好一张大白纸，白纸上画满了等距离的平行线，他又拿出很多等长的小针，小针的长度都是平行线的一半.蒲丰说：“请大家把这些小针往这张白纸上随便仍吧！”客人们按他说的做了。 蒲丰的统计结果是：大家共掷2212次，其中小针与纸上平行线相交704次，2210÷704≈3.142。蒲丰说：“这个数是π的近似值。每次都会得到圆周率的近似值，而且投掷的次数越多，求出的圆周率近似值越精确。”这就是著名的“蒲丰试验”。
4. 数学魔术家沙贡塔娜 1981年的一个夏日，在印度举行了一场心算比赛。表演者是印度的一位37岁的妇女，她的名字叫沙贡塔娜。当天，她要以惊人的心算能力，与一台先进的电子计算机展开竞赛。 工作人员写出一个201位的大数，让求这个数的23次方根。运算结果，沙贡塔娜只用了50秒钟就向观众报出了正确的答案。而计算机为了得出同样的答数，必须输入两万条指令，再进行计算，花费的时间比沙贡塔娜要多得多。 这一奇闻，在国际上引起了轰动，沙贡塔娜被称为“数学魔术家”。
5. 工作到最后一天的华罗庚 华罗庚出生于江苏省，从小喜欢数学，而且非常聪明。1930年，19岁的华罗庚到清华大学读书。华罗庚在清华四年中，在熊庆来教授的指导下，刻苦学习，一连发表了十几篇论文，后来又被派到英国留学，获得博士学位。他对数论有很深的研究，得出了著名的华氏定理。他特别注意理论联系实际，走遍了20多个省、市、自治区，动员群众把优选法用于农业生产。 记者在一次采访时问他：“你最大的愿望是什么？” 他不加思索地回答：“工作到最后一天。”他的确为科学辛劳工作的最后一天，实现了自己的诺言。
6. 21世纪七大数学难题 美国的克雷数学研究所于2000年5月24日在巴黎宣布了众多数学家评选的结果：对七个“千禧年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。 “千年大奖问题”公布以来，在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关。可以预期，“千年大奖问题”将会改变新世纪数学发展的历史进程。
7. 卡儿，法国哲学家，数学家，物理学家，解析几何学奠基人之一。他认为数学是其他一切科学的理论和模型，提出了数学为基础，以演绎为核心的方法论，对后世的哲学。数学和自然科Х⒄蛊鸬搅司薮蟮淖饔谩？ 笛卡儿分析了几何学和代数学的优缺点，表示要寻求一种包含这两门科学的优点而没有它们的缺点的方法，这种方法就是用代数方法，来研究几何问题--解析几何，《几何学》确定了笛卡儿在数学史上的地位，《几何学》提出了解析几何学的主要思想和方法，标志着解析几何学的诞生，思格斯把它称为数学的转折点，以后人类进入变量数学阶段。 笛卡儿还改进了韦达的符号记法，他用a、b、c……等表示已知数，用x、y、z……等表示未知数，创造了“=”，“”等符号，延用至今。 笛卡儿在物理学，生理学和天文学方面也有许多独到之处。
8. 韦 达 韦达（1540-1603），法国数学家。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会议员，在西班牙的战争中曾为政府破译敌军密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示 已知数、未知数及其乘幂，带来了代数理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与分数的关系，韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。1579年，韦达出版《应用于三角形的数学定律》，同时还发现，这是π的第一个分析表达式。 主要著有《分析法入门》、《论方程的识别与修正》、《分析五章》、《应用于三角形的数学定律》等，由于他贡献卓著，成为十六世纪法国最杰出的数学家。
9. 高斯 印象中曾听过一个故事：高斯是位小学二年级的学生，有一天他的数学老师因为事情已处理了一大半，虽然上课了，仍希望将其完成，因此打算出一题数学题目给学生练习，他的题目是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=？，因为加法刚教不久，所以老师觉得出了这题，学生肯定是要算蛮久的，才有可能算出来，也就可以藉此利用这段时间来处理未完的事情，但是才一转眼的时间，高斯已停下了笔，闲闲地坐在那里，老师看到了很生气的训斥高斯，但是高斯却说他已经将答案算出来了，就是55，老师听了下了一跳，就问高斯如何算出来的，高斯答道，我只是发现1和10的和是11、2和9的和也是11、3和8的和也是11、4和7的和也是11、5和6的和还是11，又11+11+11+11+11=55，我就是这么算的。高斯长大后，成为一位很伟大的数学家。 高斯小的时候能将难题变成简易，当然资质是很大的因素，但是他懂得观察，寻求规则，化难为简，却是值得我们学习与效法的。
10. 苏步青 苏步青1902年9月出生在浙江省平阳县的一个山村里。虽然家境清贫，可他父母省吃俭用，拼死拼活也要供他上学。他在读初中时，对数学并不感兴趣，觉得数学太简单，一学就懂。可是，后来的一堂数学课影响了他一生的道路。 那是苏步青上初三时，他就读浙江省六十中来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师。第一堂课杨老师没有讲数学，而是讲故事。他说：“当今世界，弱肉强食，世界列强依仗船坚炮利，都想蚕食瓜分中国。中华亡国灭种的危险迫在眉睫，振兴科学，发展实业，救亡图存，在此一举。‘天下兴亡，匹夫有责’，在座的每一位同学都有责任。”他旁征博引，讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用。这堂课的最后一句话是：“为了救亡图存，必须振兴科学。数学是科学的开路先锋，为了发展科学，必须学好数学。
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