数学课堂教学是数学教学的基本形式，是学生获取数学知识、培养数学能力和提高数学素养的主渠道，因此，提高数学课堂教学的有效性应当是数学教学改革的核心要求. 但是，究竟如何才能真正提高数学课堂教学的有效性呢？《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程”.控制论的创始人维纳曾说过：“一个有效的行为必须通过某种反馈过程来取得信息，从而了解目的是否已经达到. ”事实上，从信息论角度分析，在数学课堂教学中，数学教师既要把数学教学信息有计划地传输给学生，又要随时接收来自学生的反馈信息，并对这些信息进行分析，以便调控、修改和完善教学过程，使数学课堂教学不断优化. 由此可见，切实做好反馈与调控，对于提高数学课堂教学的有效性将具有十分重要的意义. 笔者拟结合自己的实践，初步讨论提高数学教学有效性的反馈与调控策略.
一、数学课堂教学中反馈与调控的基本内涵
尽管人们对反馈与调控有许多不同的理解，但就教学而言，反馈与调控主要是指针对学生教与学的表现同教学目标之间的差距给出相关有效的信息，师生利用这些信息确认、调节教学进程，增加、转变甚至重构教学活动. 有效的反馈与调控能够帮助学生缩小差距、逐步逼近学习目标. 在教学过程中，反馈与调控不仅需要帮助学生纠正错误概念，强化已有的信念或知识，而且需要帮助学生不断进行知识的拓展与建构，需要教师对教学的进程与节奏进行合理变化. 就数学教学而言，反馈调控不仅是数学教学设计的一种基本原理，而且也是数学教学过程展开的一种基本要求. 根据系统论的基本原理，任何可控制系统，其信息通道必然是闭合回路，没有反馈信息的系统，要实现控制是不可能的. 数学教学中，反馈与调控是一对相关的有效教学策略. 其中，反馈重在把数学教学系统输送的信息作用于数学教学的被控对象，再把产生的结果输送回来，并对信息的再输出产生影响；而调控重在通过数学教学的反馈对数学教学信息实现有目的的有效控制. 数学教学的反馈与调控是构成有效数学课堂教学的重要内容，也是数学教学得以继续与深入的基础，没有数学教学中双向的反馈与调控就没有灵动、高效的数学课堂教学. 在数学教学中，只有利用反馈信息，对数学教学输入状态进行及时的动态调整，才能实现数学教学系统的输出状态与数学教学目标的一致性，也才能真正达到数学教学目标优化调控的目的.
二、数学课堂教学中反馈与调控的策略要求
1. 课前要制订合理的反馈计划
根据教学要面向全体和提高课堂教学效率的原则，教师在数学课堂教学中必须使收到的反馈信息准确、有效，能真实反映各层次学生在学习数学知识过程中的思维方式、思维习惯、思维水平及表现出来的数学能力. 否则，不真实、不具代表性的信息不仅发挥不了应有的作用，甚至还会干扰正常教学，使信息反馈失去真正的意义. 由于课堂教学时间有限，十分宝贵，容不得半点迟疑. 要使获得反馈信息能准确、迅速、具体地反映出各层次学生的学习系统状态，同时也为了尽可能获得更多的反馈信息，在课前必须有一个合理的收集反馈信息的计划. 根据前馈信息，对于教学中学生可能产生什么困惑，会出现哪些问题，做到心中有数. 由此要进行哪些提问，该提问哪一层次学生，要做哪些练习，该重点深入了解哪些学生的实际情况，哪些要板书，该请谁板书等，都要一一设计妥善，以便在课堂教学中能迅速、真实地获取尽可能多的反馈信息，实现预期的教学目的.
比如，根据往届学生的几何证明，虽然学生有思路和方法，但往往不能合理规范地表达，逻辑推理欠严密的前馈信息，在几何证明教学中就要特别加以重视. 教学过程中，教师要引导学生关注自己的板书过程，时刻将严谨、富有逻辑性（或合情推理）的解题思路清晰地展现在学生面前，使学生从解题思路、方法和规范要求等方面受到熏陶，从中把握解题过程的规范性、推理的严谨性、演算的准确性，要让教学达到提升学生严谨的学习态度的目的. 同时每节课要有意识地安排一两名中等生板书，从中发现问题，及时给全班学生作典型纠正，不断强化书写格式规范化意识，逐步养成严密的逻辑推理能力. 这样做效果良好.
2. 充分利用多种途径进行数学课堂教学信息反馈
（1）口语反馈
口语反馈是师生双方通过口头语言交流获得的信息反馈，包括课堂提问、课堂讨论以及学生质疑等. 课堂提问应具有启发性，能促使学生积极思考，激起思维的波澜. 问题难度要适中，使大部分学生能作答，以保持信息畅通. 课堂讨论应紧密围绕教学重点，有计划、有目的地进行. 要组织好不同想法的交流与争论.
（2）情态反馈
情态反馈是通过学生听课表情、坐姿和教师的教态交流获得的信息反馈. 心理学告诉我们，青春初期的中学生，虽然不像小学生一样心理外露，但我们还是可以从他们的神情上观察到其思维过程中思维受阻与否的一些迹象. 学生两眼有神、端坐聆听，表明所进行的内容对他们有吸引力，教师讲授得法；目光转移、坐姿不稳，表明所授的内容没有听进去，思想上开了小差；表情乐观、态度积极，表明对所学知识已经理解；表情冷淡、态度消极，表明对所学知识没有理解好. 学生的这些表情与动作，就给了教师一种反馈，在教学中若能及时观察，捕捉它们，并进行调控，就一定能收到良好的效果.
（3）图文反馈
图文反馈是通过文字、图象交流获得的信息反馈，如教师板书、提供书面答案，学生书面练习、检测、板演等都是. 书面练习和检测题应具有典型性、针对性、启发性，由易到难，指名板演的学生的学习水平应与题目的难易相适. 通过口语反馈与情态反馈，了解的、多属信息的定性方面，量化程度较低；而图文反馈不仅信息量大，而且稳定可靠，教师可大面积了解学生，以便及时发现问题，采取对策. 教师经过一节课或一个教学环节的辛勤劳动，学生掌握了多少，知识能力缺失在哪里，往往可以通过学生的书面练习，将信息反馈给教师，教师应该学会获取和正确利用这一反馈信息去提高课堂教学效率.
3. 及时地调控反馈信息，切实提高数学课堂教学的有效性
反馈的目的是改进后续教学，实施对课堂教学的调控，使某一确定目标向预先设定的方向发展. 对反馈信息的调控，一般有以下几种方式.
（1）及时对课堂生成合理调控，提高教学的有效性
在数学教学中讲求实效性，关键是改进教学过程，引导学生充分参与. 学生的参与程度是评价实效性的重要标准. 在教学中，我们面对的是充满生命活力的学生，教学又是一个动态的过程，所以在教学中要随机应变，因势利导，及时调控教学过程，以适应课堂的实际情况. 我们知道，每一个教学环节的设置，教师都有预定的目标和实施方案，在实施过程中，教师可根据课堂生成随时随地了解教学是否符合学生的实际. 在实际教学过程中，常会出现学生偏离了教师预设的“标准思路”的现象，这时教师应采取有效的策略，“审时度势，合理调控”，挖掘和利用学生的“非标准思路”中所具有的价值. 有一次笔者讲解一道例题：如图1的立体图形从正面看得到什么图形？笔者针对小正方体的组合体提出用“数行、列、个数”的方法（这是非本质的方法）得出平面图形，这时有位学生提出：只要把这个组合体从正面压过去压扁就得到结论. 多么精彩的思考，这个学生讲出了从不同的方向看立体图形得到平面图形的最本质最一般的方法，笔者非常珍惜这如此精彩的思维闪光点和良好的生成资源，立即调整教学，用学生提出的方法重新审视这类问题，学生很快会灵活运用这一方法解决相关的问题.
根据课堂生成的合理调整，看似浪费了时间，可唤起的是学生对数学的学习兴趣和灵感，得到的是数学投影思想及投影的数学本质. 这种教学调控是多么有效啊！
（2）及时明辨是非，提高教学的有效性
学生在学习过程中经常会出现错误，对学生的错误要认真分析. 如果是个别学生的错误，可进行个别反馈；如果是普遍性的问题，就要公开反馈，及时提供必要的事例材料，以澄清事实，明辨是非. 教师必须明确区分错误的类型（知识性错误、方法性错误、逻辑性错误、心理性错误和过失性错误）和纠错的基本原则才能提高教学的有效性. 例如学生经常会因不能准确地按照分配律去括号而出现类似于“4x-3（2-x）=4x-6-x”，“4x-3（2-x）=4x-6+x”，“4x-3（2-x）=4x-6-3x”的错误，这是方法性错误，纠错时教师应帮助学生理解括号的“整体性”特征，并进行各种变式训练，使学生熟练掌握去括号的技能. 再比如，在学习完全平方公式时，学生经常会出现类似于“（a+b）2=a2+b2”的错误；在学习同底数幂的除法时，经常会出现类似于“■=m2”的错误. 这是心理性错误. 学生之所以会出现这些错误，是因为头脑中储存的“顺序”而抗拒了“它序”，要帮助学生打破原有的思维定势，养成言必有据的习惯. 另外还应通过特例来加强学生对数学知识本质的认识. 这样才能提高教学的有效性.
（3）注重情感调控，提高教学的有效性
教师的教学活动不同于企业生产产品的历程，而是由教师、学生等活生生的生命主体参与的活动. 高效、理想的数学课堂应该是蕴含教师的艰辛与创造、对学生的殷切期盼与对事业执着追求的课堂；应该是蕴含学生对知识的渴望、对教师的尊敬与热爱、敢于挑战困难和充满理想的课堂. 列宁说：“没有情感就没有人的追求.”可见积极的师生情感是提高数学教学有效性的一个重要因素. 学习过程伴随着学生情感的体验，教师应时刻注意学生的学习情感，当学生出现情绪低落时，应采取适当的方法予以调整，或者改变语气语调，或者来个幽默，或者穿插个活动，让学生尽快恢复注意，集中精力. 教师尤其要反躬自省：是不是教学内容学生不敢兴趣？是不是我的教学方法过于陈旧刻板？是不是学生在生活中遭遇什么问题？通过多种途径不断培养学生积极的学习情感，从而实现“知识与技能、过程与方法、情感态度价值观”三维目标的融合统一. 在教学中若能及时观察，捕捉它们，并进行调控，就定能收到良好的效果.
一次期末复习课，笔者让学生自己看平时的试卷，并针对不懂的问题询问老师. 学生开始非常认真，可不久也感觉疲惫不堪，碍于老师的威严，勉强支撑着. 而我呢，穿梭于几十名学生之中，也感觉很吃力，特别是有些相同的问题要解答好几遍，有点不耐烦. 显然，这样的复习是没有多少效益的. 笔者立即调整教学方法，干脆聘请几位成绩优异的学生作小老师，由他们解答疑难，实在难以解答的，才由我这位“专家”解答. 这样，不论是“小老师”，还是提问的学生，双方都充满了高昂的热情，课堂气氛立即活跃起来. 提问者抱疑而来，满意而归；答疑者认真讲解，充满自信. 如果是重点知识，容易混淆的知识，或者需要拓展延伸的知识，笔者特意请稍差的学生到黑板上演练，其余自练，再集体订正，并为差生指出错误. 差生在有针对性的点评和一点点的领悟中，也逐渐增强了自信心. 其余似懂非懂的中等生在思考中，也巩固了对知识的理解. 这样的复习，真正起到了培优补差，兼顾中间的目的. 学生非常踊跃地争取上台的机会，不管是当“小老师”、提问者，还是板演者，都很感兴趣. 而作为老师的我，怡然自得地做起了组织者、专家和导演，快乐而轻松. 一节课下来，学生既顺利地学到了知识，又锻炼了能力，好胜心理表现得淋漓尽致，个个学得特别用心.
因此，在课堂教学中要调整学生的课堂情绪，注重培养师生积极的情感因素，促使学生产生一种愉悦的心理体验. 这无疑会激发学生的学习欲望，提高课堂教学有效性.
（4）注重启迪激励，提高教学的有效性
在数学课堂教学中，学生提出发人深省的问题或有特色的优秀解答，对于深入理解概念、公式、定理等有一定的价值时，教师要不失时机地在全班给予推荐、肯定、鼓励，充分激发他们的学习兴趣和求知欲望，进一步引导他们深入探究，从而加深对知识的理解和掌握.
例如，一次复习课，笔者出了一道习题：“若关于x的方程■=1的解是正数，求a的取值范围. ”大部分同学很快求出a<-1. 这时我没有否定同学们的答案，而是启迪学生从前提条件的角度来认识. 学生发现等号左边的分式有意义，方程才存在，才谈得上“解为正数”，显然分母x-1≠0，得到a≠-2. 对这种考虑我给予肯定的评价. 这时学生兴趣高涨，我不失时机地又启迪学生还能从其他的角度来考虑这个限制条件吗？在老师的激励下，学生积极思考探索，跃跃欲试，有同学发现可以从隐含条件角度来认识：分式方程的解是正数，隐含了“分式方程有解”，换句话说，x=-1-a不是分式方程的增根，即-1-a-1≠0. 还有同学发现可以从分式运算的角度来验证：若a=-2，只要分式■有意义，它的值总是2，由于2≠1，此时方程无解. 从这三个角度来认识，我想对这类问题今后学生将很少再遗失限制条件. 教学中注重启迪激励，学生的优势被挖掘，被发现，对学生来说，首先是一种认可，是对其主体努力行为及其结果的充分肯定；同时更是一种激励和积极的情感体验，这种激励和体验坚持下去，学生就能以一种积极主动的态度、专注不舍的精神投入到学习活动中. 疑难问题，若是重复讲解再三练习，至多强化模仿意识以及记忆能力，对于提升学生数学理解能力并无多大帮助. 笔者感觉从多个角度来研讨，多管齐下，突破难点. 学生认识会深刻，数学教学的有效性明显提高将不再是一句空话.
（5）及时调整作业，提高教学的有效性
课内练习的质量与速度，能尽快地反馈教学信息，检验教学效果，是教学效应最具体的反映. 如果课内练习完成情况较好，则可以适当提高课外作业的难度与灵活性；如果课内练习的速度迟缓，问题较多，则适当降低课外作业要求，以与学生的能力相适应，充分发挥作业的应有功能. 总之教师要利用反馈的信息，根据学生的不同情况有针对性地设计作业，让作业因人而异，并且作业有层次性、自主性、开放性、可操作性，这样才能提高作业的适切性与有效性，才能真正做到面向全体学生，才能促使课堂教学智慧的继续生成.
教学是及时性的，只有及时掌握并准确应用反馈信息，才能及时调整改进教学方法，以适应出现的新情况和新问题，提高教学质量. 同时，教学又是全面性的，在教学过程中，教师对反馈信息的掌握应用不仅要及时准确，而且还要充分、全面. 要全方位地获取反馈信息，充分地利用反馈信息，这样才能实现对教学过程的有效调控，才能协调好教与学之间的关系，使二者处于最佳的状态. 让我们通过教学过程中的反馈来合理、有效地调整、改进和完善我们的教学.
三、结束语
华东师范大学钟启泉教授认为：有效教学就是指通过教师在一段时间的教学后，学生所获得的具体进步或发展；它以学生的进步和发展为宗旨，以学生学习方式的转变为条件，促进学生有效学习；它关注学生的情感、道德和人格的养成，使教学过程成为师生一种愉悦的情感生活和积极的情感体验；它关注教学的效益，要求教师有时间和效益的观念；它也关注课堂教学所采用的策略，要求教师自身专业与水平的不断提升与发展. 然而，实施新课程以来，由于传统观念的束缚和升学考试的压力，初中数学课堂中重知识轻实践、重形式轻过程、重成绩轻素质等弊端依然普遍存在，严重制约和限制了数学课堂教学有效性的提高. 因此必须对现行的初中数学课堂教学做进一步的调整与改进. 提高数学教学有效性的途径也较多，有效的数学课堂教学，离不开有效的课堂反馈与调控. 数学课堂，看似随意的反馈交流与调控互动，其实蕴含着数学教师的教学机智. 作为一名数学教师，只有认真练好“反馈与调控”这门教学基本功，才能更好地驾驭数学课堂，才能使数学课堂教学真正做到有的放矢，真正做到有效、高效.
本文选自《教学月刊·中学版（教学参考）》2014年第5期，版权归原作者和期刊所有。
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