Abstract： Mathematical knowledge is abstract， the understanding and application of mathematical knowledge is rigorous， but behind the abstract and rigorous implication of many forms of beauty and beauty of the content. Through the understanding of the form and content of mathematics in China， we can improve the understanding and application of mathematical knowledge.
Keywords： mathematics； aesthetic consciousness； formal beauty； structural beauty
“数学美”是以数及数理关系认知物质世界的反映。我们探索数学美，即是用审美思维和方式认知数、数理关系及其内在特有的规律和法则，培养数学审美观，揭示数学审美价值，激发对数学的热爱，推动数学学科的发展。
不夸张的讲，数学可以诠释世间万物，更能诠释万物之美。比如对音乐而言，最简单的1、2、3、4、5、6、7已是音乐的化身，其变化让我们感悟到无限音乐之美；就现代科技而言，数码成像技术、计算机运用等是对客观物象进行数字编码以及依存于数学二进制的规律，从而体现了现代科技之美；即或是欢乐童年、青春年华、迟暮之年等也是用数（年龄的变化）诠释人生不可违背的生命法则；相对论电子波动方程可以列入20世纪科学的最高成就之一，而促使狄拉克成就这一方程的初衷是基于方程的完美性和数学形式美的动机，他曾经说“我的许多工作正是玩弄方程，并看它们给出些什么”“那是个漂亮的数学结果”；同样，数学中不少猜想得以证明，往往是基于数学内在的节奏、匀称、和谐的审美特质，从而从相似性归纳、演绎出数学规律性等。可见，数学不仅诠释万物之美，更是人类审美智慧的结晶，探索数学之美，有助于对数学知识的理解运用，使之更好地服务于现代科技和社会。
一、树立数学审美观
著名的雕塑家罗丹说过：“美是到处都有的，对于我们的眼睛，不是缺少美，而是缺少发现。”在长期的数学教学过程中，人们往往处于严谨、理性的分析、判断、推理的数学思维状态，难免让人觉得数学是那么的高深而不可亲近，甚至于觉得数学枯燥无味，更谈不上有何美的感受。事实上，在数学概念、数理关系背后，存在着无尽的审美现象，只不过我们缺乏对数学的审美认知和审美需求。数学审美过程是将数学内在规律外化的过程，是将数理逻辑转化为现象感知的过程，从审美的角度来认知数学现象和本质，树立数学审美观，有助于开阔视野，活跃数学思维。比如：圆的审美意义，古希腊毕达哥拉斯学派从数学研究中发现圆的对称之美与和谐之美，认为一切平面图形中最美的是圆形，这个审美认识无不令人叹服，远远超越艺术家的审美感受。事实如此，如果在圆所在的平面，以圆心为对称点，旋转至任何角度，都与原图重合。可见圆是平面中最完美的对称图形。从视觉现象而言，圆又是最为简洁、完整的图形。同样，人们又延伸其“圆满”的人文意义，放大其审美价值。即或是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10…在数学思维中包含自然数、奇偶数、等差关系、极限变化等不同的含义和数理关系，但只要纳入视觉领域，就会立刻产生形态大小、物象多少、图形变化、渐变与延伸等审美关系和无穷尽的对象化的审美客体，这就是数学中最质朴的审美认知。反之，探討数学的审美性，有助于形成不同的数学思维，推动数学学科的发展。
二、强化数学审美意识
在认识中，人们习惯性地把数学思维等同于逻辑思维、理性思维，而认为形象思维、感性思维与数学无缘。事实上，数学思维并不排斥其它思维方式，只不过由于数学的学科特点使逻辑思维、理性思维与形象思维、感性思维等在数学思维中呈现出主次、强弱、显性与隐性等差异，而不是非此即彼的关系。审美活动是形象思维、感性思维的表现形式。在数学中，存在无尽的审美要素、审美关系和审美空间。比如：所有可图示化的数学问题就是通过视觉形象来进行分析、判断和思维的，视觉形象的呈现、联系与变化关系都对应于内在的数理、比例、尺度和规律等，这些不仅是数学问题，也是美学问题，涉及形式、结构、和谐、节奏、韵律等审美表现。相反，如果我们从形式、结构、和谐、节奏等的内在审美特质出发来探索数学问题，有助于强化数学思维能力。
三、数学美的体现
数学美的含义十分宽泛，具有含蓄性，不像数学概念那样具有明确定义。从哲理上讲，数或数理关系可从内在特质与形式表现两方面诠释万物之美。所以，数学美体现于两方面：一是体现于数学形式结构的外在美，比如：三角函数的双曲线的形式结构很美；二是体现于内在的规律、秩序和节奏美。同样，三角函数的双曲线从视觉形式看很美，但它更是对一种变化过程与趋势的美学反映。当然，对于艺术而言，诸如音乐的节奏与韵律、人体的比例与尺度、建筑的结构与造型等我们很容易去感知与理解。对于数学而言，就需要我们去发现，而且不是单纯去认知某种数学审美现象，而是将审美意识体现于数学思维过程，以期最大化地实现其审美价值和功能。这里，作者结合长期的高等数学教学实践，仅从美的形式、美的结构以及意境美几方面来看数学之美。
（一）形式美
形式美主要从感官而言。许多数学图形和数学公式都表现出极强的形式美感，这有助于对数学知识的认知和理解。譬如：有人做过实验，让学生分别学习勾股定理a2+b2=c2和欧拉公式ei？仔+1=0，看学生能否体验到其中的美。结果发现，学生对勾股定理较容易感受到美，认为它很奇妙，且容易记忆和运用。对于欧拉公式，尽管有着很好的统一性和奇异性，它将数学中最常用的5个常数0，1，i，e，？仔用极为简单的方式联系到了一起，在历史上受到过很多人的赞美，但是，由于学生不了解这个公式的由来和其中包含的高等数学知识，绝大多数学生对这个公式反应漠然[1]。
1. 渐变
指客观对象或某种现象逐渐的、有规律性的变化。对于艺术而言，渐变是艺术家从事艺术创作普遍遵守的法则，其审美性体现于一种强烈的空间感、运动感和无限延伸的张力，比如铁路边电线杆出现近大远小的变化，汽车行驶逐渐远去的过程，飞机声音的变大与消失，温度的逐渐升高等现象，就是一种典型的渐变效果。这种效果广泛运用于现代绘画与设计中。在数学中，许多概念和逻辑规律包含了这种渐变的审美意义。比如：等比数列、等差数列、极限概念等。同样，对于再简单不过的1、2、3、4、5…，而言，我们赋予它不同的度量关系，就可产生多少、大小、远近、轻重、高低等具体可感的、渐变的审美现象，从而丰富了对数学的理解。
2. 变化与统一
变化与统一是形式美的总法则，是对立统一规律的具体化。在艺术表现过程中，变化与统一常常成为指导艺术创作和衡量艺术效果的标尺。比如：大小、黑白、明暗、疏密等变化关系，相似形状、邻近色、环境色等的统一关系。同样，在数学领域大部分概念和结构体系都以变化与统一的关系存在。比如：平面几何中的相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线定理，从结构上都可以统一于圆幂定理，但又各有变化。解析几何中的抛物线、双曲线都统一于圆锥曲线，从视觉上相似，但内容上不相同。如有限与无限、曲线与直线、切线与割线的转化的概念对比等。
我们之所以要探索或放大这些审美关系，因为它有助于我们对数学知识的理解和掌握，进一步揭示数学的奥妙，将数学知识广泛运用于现代科技和社会发展中。
3. 系列化
系列化是艺术表现中强化相似性的审美原则，即具有相同基本结构和属性的客体重复出现，起到强化视觉效果突出内在特质的作用。比如日常生活中人们使用的各種商品，绝大部分是以系列化方式开发和销售的：化妆品按男性系列、女性系列，季节系列，香味系列，价额系列，款式系列等来开发和销售就是如此。最为耳熟能详的“品牌”二字，就是产品系列化的存在方式。同样，不同的数学知识体系，其内在规律和联系往往构成从公理到定理，再到推论、诱导公式等系列结构。如：三角函数源于对角、边关系的研究，其本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。三角函数的定理、推论、基本公式（诱导公式、和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式、万能公式等）很多、很复杂，但只要从系列化角度去理解和把握其内在规律就使问题简单化了。所以，感知三角函数定理、推论、诱导公式等体现出来的系列化的形式美感，有助于我们掌握三角函数的本质，有助于提高学习高等数学的积极性。
（二）结构美
结构美主要探讨事物内在的特质与骨骼。法国数学家彭加勒曾作过论述：“数学的结构美是指一种内在的美，它来自各部分的和谐秩序，并能为纯粹的理智所领会，可以说，正是这种内在美给了满足我们感官的五彩缤纷美景的骨架，使我们面对一个秩序井然的整体，能够预见数学定理。”[2]
任何审美对象其背后都由内在结构做支撑，即审美表现包含现象美和内在美，内在美即结构美，对结构美的探讨是当代艺术的重要审美活动。事实上，数学各领域有其明显的结构体系，但对这种结构体系的认知与研究往往是放在科学与逻辑范畴，而未放在艺术领域去感知，好在大家对数学中存在的结构美的研究逐渐受到重视。数学中结构美体现为两方面，一是指结构的规律、秩序、比例与和谐关系等特质。如：秩序性是数列的结构美，比例是黄金分割的结构特征，对称性是正弦函数、余弦函数的结构美等。二是指结构的关系美，就这一点而言，数学中“群”的概念就是最好的理解。
数学领域中最能体现结构关系的是“群”的概念，群结构观点已渗透到数学各个领域。无论是几何学还是代数学等都可以按照不同的群结构加以分类，从结构观点来研究数学问题，有助于对某种数学特质和关系的理解，因为数学特质和关系往往是以一种体系呈现，任何体系都存在于某种同构性的或相似性的结构中，所以在研究问题时只要抓住一种结构进行分析即可，结构分析法是数学研究的本质方法，数学的结构美同样体现于数学知识本身的严谨与和谐。比如：高等数学是利用极限这个工具去研究函数的各种特性，所以高等数学教学内容安排顺序上也体现明显的结构关系：从函数（研究对象）到极限论（研究工具）到微分（函数的变化率）再到积分（相反问题）及其它们的应用。这种整体结构从概念、定理、性质及其运用等体现出的严谨和谐的特点，如同五言律诗和七言律诗最基础的平仄结构是其结构美的体现。
数学中结构美体现于对任何公理、定理的内涵表述的高度概括性，同样，由公理、定理推演出庞大的理论体系，有其内在严密的逻辑结构，其形式表现极具相似性，这种极为简洁的形式关系和相似性说明内在严谨的结构美。
（三）意境美
数学思维过程中，人们往往不假思索地认为数学思维就是逻辑思维，事实上这是机械的认识，形象思维先于逻辑证明，逻辑思维往往是基于形象和空间意境之上的，或者说是基于美感直觉的帮助，尽管这种直觉往往是无从解释的，但在数学思维中，会产生无限接近结论的思维与方法。
例如：已知平面上有直线L及其同侧的两点A、B，在直线L上求一点，使从X轴看A、B所张的视角最大。相信大家头脑中首先瞬间浮现的是平面、直线和两点处于某种空间状，形成一种画面感，在这个意境中不断调整、分析、判断其相互的对应的某种视觉关系，从而感知视角变化，整个过程都是形象思维过程，之后才去作逻辑证明。这种呈现于意识中的画面感、空间感、运动感等是美的，不仅有助于人们对数学的认知与理解，更大大地促进了数学的发展。
四、结束语
树立数学审美意识，尽管数学美是个模糊且含蓄的问题，是认知者个体的内在感受和体悟，不像数学问题那样可以得到逻辑证明。但是“人们或者因为感到数学是美的而爱好数学，或者因为爱好数学而认为数学是美的。”这已经说明了探索数学审美的意义。同时，要树立良好的数学观，从本质上认识数学是研究数量、结构、变化以及空间形态等关系的一门学科，进而产生对数学科学性、应用性以及审美性的探索的需求和必要。再者，在数学审美教学中，要培养数学审美意识和习惯，形成数形结合的思维方式，掌握这种最为直接和朴实的思维方式，把抽象的概念、关系、结构等对象化、客观化、具体化、直觉化，就凸显了数学美的意义。
参考文献：
[1]杨泽忠.从数学美感的产生看数学美教学[J].数学教育学报，2008，17（2）：5-7.
[2]徐本顺.数学中的美学方法[M].南京：江苏教育出版社，1990：59.
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