数学分析是近代数学的基础，是现代科学技术中应用最广泛的一门学科，是师范院校数学专业的一门主干基础课。极限概念是数学分析中最重要的概念之一，数学分析中几乎所有重要的概念，如连续、导数、定积分、重积分、曲线积分、曲面积分以及级数的收敛性等定义都建立在极限的基础上。极限理论是数学分析的基础理论，极限思想贯穿整个数学分析学科。学生学习数学分析时要掌握的第一个重要概念就是极限概念。然而，极限概念叙述冗长，概念中的符号关系复杂，不易理解。初人数学分析门扉的读者，都感觉极限概念不好捉摸，极限的精确定义不易理解。本文就极限思想的形成与发展、学生在学习极限概念时感到困惑的原因以及在教学中如何把握和理解极限概念等方面给予阐述。
1极限思想
初等数学主要研究事物相对静止状态的数量关系，而数学分析则主要研究事物运动、变化过程的数量关系。从初等数学发展到数学分析，研究对象发生了根本变化，这就必然引起研究方法的革新。极限就是为了适应研究事物运动、变化过程的数量关系而产生的一种新的数学方法。
从极限产生的历史背景来看，极限概念产生于解决微积分学的基本问题：求面积、体积、弧长、瞬时速度以及曲线在一点的切线问题。然而，极限思想，人们在很早的时候就已经有了。极限思想起源于穷竭法，穷竭法通常以古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus公元前400-公元前350)命名，他认为量是无限可分的，建立了下列原理：“如果从任一量中减去不小于它的一半的部分，从余量中再减去不小于它的一半的另一部分，如此继续下去，则最后留下一个小于任何给定的同类量的量”。
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古希腊数学家阿基米德（公元前284-公元前212)推广了穷竭法，他在《论球和柱体》一书中，第一次给出了球和球冠的表面积，球和球缺的体积的正确公式。他指出，如果圆柱的底等于球的大圆，圆柱的高等于球的直径，则球的表面积恰好等于圆柱的总面积的2/3，圆柱的体积恰好等于球的体积的3/2。这些结果是通过一系列命题一步一步推导出来的，这个过程蕴涵着积分思想。阿基米德把一个量看成由大量的微元所组成，这与现代的积分法实质上是相同的。但由于当时没有实数理论，没有无限的概念，因而没有形成极限的概念。极限思想在我国古代的文献中也有记载，战国时代哲学家庄周所著的《庄子?天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限地进行下去。公元263年，我国古代数学家刘徽在求圆的周长时使用的“割圆求周”的方法，就使用了极限方法。刘徽借助圆的内接正多边形的周长来求圆的周长。其作法是：依次作圆的内接正六边形、圆的内接正十二边形、圆的内接正二十四边形……，每个圆的内接正多边形周长都可求得。圆内接正多边形边数越多，其周长就与圆的周长越接近，正如刘徽所说“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”这个方法蕴涵了极限思想。
十七世纪中叶，已形成了初等数学。由于生产力的发展，也推动了数学的发展。在十七世纪，物理学、天文学、航海学向数学界提出了许多新的问题，如：天体的运行轨道问题、变速运动物体瞬时速度问题、不规则几何形体面积计算问题。这些问题用初等数学都不能获得解决，要求用新的数学工具来解决，从而，人们开始研究运动着的物体和变化着的量，开始研究变量和函数。研究函数需用新的方法，因此，人们开始研究极限运算。十七世纪下半叶，英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别总结了前人的工作，创立了一个新的学科-一数学分析。这个学科的特点是，需要运用无限过程运算，即极限运算。数学分析的核心内容是微分学和积分学，而微分和积分的概念是通过极限来定义的。但当时极限概念是含糊不清的，许多理论常常不能自圆其说，也引出一些相互矛盾的东西。例如牛顿在1704年发表了《曲线的求积》一文，其中他确定了x3的导数。牛顿当时作法如下：
在这里Ax既可作分母，又可忽略，无穷小量既不是零却又等于零，“召之即来，呼之即去”，完全随心所欲。由于极限概念含糊不清，数学分析没有坚实的基础，因此悖论不断产生。数学家在研究级数时做出了许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。
进人19世纪，数学陷人了巨大的矛盾之中，一方面，数学在描述和预测物理现象方面取得巨大成就，另一方面，由于大量的数学结构没有逻辑基础，因此不能保证数学是正确无误的。历史要求给微积分以严格的基础。在德国数学家的倡导下，数学界对数学进行了一场批判性的检查运动，对一些理论进行了严密的定义和严格的证明。柯西在1821-1823年间出版了《分析教程》、《无穷小计算讲义》两书，在书中，柯西给出了极限的精确定义，然后用极限定义连续性、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，这些定义为数学分析奠定了坚实的基础。
2极限概念教学
2.1极限概念是数学分析中最重要并且是最难掌握的一个概念，初学极限的人，都感觉极限概念难以掌握，极限概念的精确定义难以理解，弄不清为什么要这样定义，表现出多方面的困惑：
2.11学生从小学到高中学习的都是常量数学，被研究的量都是固定不变的，且都是有限的。学生没有遇到过无限的数学模型，习惯用一种静态不变的观点来分析问题。而极限是-个无限过程，需用运动、变化的观点来考察问题。初学极限者，最难解决的是从有限到无限的转变。学生在叙述极限概念时常会出现如下错误：“lima?=a<^Vs>0,有la?-al<e”、“limf(x)=b<=>Ve>0,有lf(x)-bl<e”。
2.12在数列极限定义中，e是用来衡量^和^接近程度的，e愈小，表示接近得愈好，它除限于正数外，不受任何限制，这正说明《?和《能够接近到任何程度。然而，尽管e有它的任意性，但当一经给出，就应暂时看作固定不变的，即e又有给定性，给定以后，以便根据它来确定N。另外，在应用中常用ke(k>0)、e2、A…代替e或把e限制在0<e<ro(r0是一大于零的实数）。学生常对E在定义中所充当的角色感到捉摸不透，e的双重性给学生带来困惑。如学生在极限证明中，常会选取e=ei+e2就是对e的任意性不太理解所致。
对于教学上的重点与难点，学生不易理解，常会出现记忆不牢，理解不透的现象，教师在教学中可采用讲、论、练相结合的教学形式，结合学生的实际，注意改进教学方法，突被极限概念这一教学难点是不困难的。
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