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数学小论文 关于“0” 0，可以说是人类最早接触的数了。我们祖先开始只认识没有和有，其中的没有便是0了，那么0是不是没有呢？记得小学里老师曾经说过“任何数减去它本身即等于0，0就表示没有数量。”这样说显然是不正确的。我们都知道，温度计上的0摄氏度表示水的冰点（即一个标准大气压下的冰水混合物的温度），其中的0便是水的固态和液态的区分点。而且在汉字里，0作为零表示的意思就更多了，如：
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1）零碎；小数目的。2）不够一定单位的数量……至此，我们知道了“没有数量是0，但0不仅仅表示没有数量，还表示固态和液态水的区分点等等。” “任何数除以0即为没有意义。”这是小学至中学老师仍在说的一句关于0的“定论”，当时的除法（小学时）就是将一份分成若干份，求每份有多少。一个整体无法分成0份，即“没有意义”。后来我才了解到a/0中的0可以表示以零为极限的变量（一个变量在变化过程中其绝对值永远小于任意小的已定正数），应等于无穷大（一个变量在变化过程中其绝对值永远大于任意大的已定正数）。从中得到关于0的又一个定理“以零为极限的变量，叫做无穷小”。 “105、203房间、2003年”中，虽都有0的出现，粗“看”差不多；彼此意思却不同。105、2003年中的0指数的空位，不可删去。203房间中的0是分隔“楼（2）”与“房门号（3）”的（即表示二楼八号房），可删去。0还表示…… 爱因斯坦曾说：“要探究一个人或者一切生物存在的意义和目的，宏观上看来，我始终认为是荒唐的。”我想研究一切“存在”的数字，不如先了解0这个“不存在”的数，不至于成为爱因斯坦说的“荒唐”的人。作为一个中学生，我的能力毕竟是有限的，对0的认识还不够透彻，今后望（包括行动）能在“知识的海洋”中发现“我的新大陆”。 谈谈数学中的已知和未知，有限和无限的辨证关系一、在某种意义上说，人类的所有的认识活动的基本任务就是化未知为已知。下面从两个方面来探讨已知和未知问题。第一方面是人类作为认识主体对现实世界这一客体进行认识的已知和未知。从这一点来看，所有的科学都在做着由未知向已知的转化工作。已知向未知的转化就是人类由必然向自由发展的一个重要环节。在这方面，数学中的已知和未知是人类作为认识主体，对数学的对象进行认识的已知和未知。已知和未知是对立的统一，它们既有明确的严格界限，互相对立，又互相依存，互为前提，并在一定条件下相互转化，数学发展的历史，在一定意义上说，可以看作是人们在数学发展中由未知向已知转化的历史，比如，人们对素数的认识过程就可以说明这一点。最初阶段，人们并未认识到素数，后来随着客观的需要，当人们在数的认识过程中认识到素数，就由未知变为已知，但是，人类和客观世界并不满足这一点，又由这一已知产生了新的未知，即在自然数中有多少个素数？经过人们的不懈努力，证明了素数有无穷多个，这个问题又从未知转化为已知。随之又产生了新的另外问题：素数在自然数列中怎样分布？这个问题又提出了新的未知。素数分布问题，已得到很多结果，即这个未知数部分地转化为已知。但就整个问题来说还是个未知，而且，还会不断地产生一些新问题。由此可知，提出问题是沟通已知和未知的桥梁，只有提出问题才能开拓新的未知领域，从而解决问题，化未知为已知，然而又提出新问题，解决新问题，使数学知识由已知向未知前进，内容不断扩展，使人们的认识由低级向高级不断发展。因此，在一定程度上可以说，一门科学在其发展的每一个阶段上都要提出自己的问题，一旦提不出问题，这门科学的发展也就到了尽头。在这个意义上，可以说未知也就是已知的开始，只有经过未知这个环节，人们才能进入已知的领域，如果提不出问题，连未知也没有，那就根本无所谓新的已知，但同时新的未知也只有在已知基础的产生；没有作为前提的知识，也提不出任何问题。古人说“知之为知之，不知为不知，是知也”从这方面理解也有一定道理。第二方面是对学习数学（学习其它科学也一样）者个人来说的已知和未知。对学习数学者个人所未知未必是数学中的未知。在数学的教学实践中，所遇到的几乎全是这一方面的问题。当然，作为已知和未知这一对矛盾来说，在这两个方面并没有什么本质的不同，但在第二方面，它们的转化产生了一个重要的特点，即老师和众多的资料及多媒体教学手段都能促进学生由未知转化为已知。现在从两个方面探讨一下这个层次中的未知转化为已知的问题。1、未知数参与运算，促进未知向已知转化未知数参与运算，这是解方程问题中设未知数列出方程的依据。这里已知同未知既是对立的，又是统一的。统一于未知数与已知数的相互关系中，而这种关系又是已知的，或是给定的。否则是无法建立方程的。建立方程是促进未知向已知转化的必备条件。一旦建立了方程，解方程的过程便是实现未知向已知的转化的过程。2、从未知出发，寻找已知和未知的联系，即数学中常用的分析法，或者称为倒推法。实际上，这与列方程把未知数当作已知数进行运算的道理是一样的，都是把未知的、所要求解的、求作的、求证的东西作为已知条件来处理的。数学中通常由题设的已知条件出发，根据定义，公理或者已证定理，一步步推演，直到得到所要求的结果，这种由已知到未知的方法称为综合法。如果是执果寻因，从所要证明的或未知的结果A1出发，寻找能够得到的A1的充分条件A2，再以A2为结果，寻找A2的充分条件A3，照此类推，直到找到某一个能使An-1成立的充分条件An，而这个An是已知的，或者是题设条件、定义、公理或者是已证定理。当验证这一系列步骤都可以逆时，再倒过来，便能从An得到An-1……。最后得到A1，这种由未知到已知的方法叫做分析法。二、数学中的有限和无限是对现实世界的有限和无限的反映。整个物质世界的发展变化就是有限和无限的统一。无限性首先就是指物质世界的无限性，宇宙的无限性。运动是物质的固有属性，时间和空间是物质的存在方式，物质世界的无限性就表现为时间的无限持续和空间的无限广延。数学中的无限性就是这种物质世界无限性的反映。有限则是说一切事物都存在具体的时间和空间之中，因此总是一段时间，有规模的、有界限的。即一切事物都是具体的事物。数学中的有限就反映了这种有限性。有限和无限是对立的统一，它们既是对立的，有区别的，又是相互联系的。并在一定条件下相互转化的。数学中的无限和有限也反映了这一点。例如 ，整数集是一个无限集合，人们无法得到一个完成了的整数集。但每个整数又都是有限的。我们可以得到任意的整数。任意给出一个数学的对象，我们立即就能判定它是否属于整数集，这样看问题，整数集又是一个完成了的集合，是一个有限的概念。因此整数集本身就是一个无限和有限的对立统一体。有限和无限是对立的、有区别的，有限集合和无限集合的性质有质的不同。例如一个有限集和它的任何一个真子集都无法建立一一对立关系，而无限集则可以与它的一个真子集建立一一对应关系。比如，自然数集和它的一个真子集 偶自然数集就可以建立一一对应关系。再如，一个有限的良序数集，自然数集的一个有限数集必然有最大数和最小数。但是无限的良序数集则没有这种性质，实数集就没有最大数也没有最小数。有限和无限又是密切相联系着的，没有有限也就没有无限，没有无限也就没有有限。无限性是不能完全被证明或者说被完全实现的。这并不是因为无限性不存在，而只是因为如果无限性一旦得到完成，得到实现，那它就不再成为无限，而变成有限。但是如果所有的无限都变成有限，无限就不存在了，因此有限也就不存在了。由于有限是存在的,所以无限是不能完全实现的。事实上，有限的总和构成无限，无限是通过有限而存在的。这种情况在数学中也得到反映，比如整数集是由一个个具体的整数组成的，而这个集合的无限性就是通过无数个有限的整数总和表现出来的。有限和无限在一定条件下能够相互转化。比如，物质是无限可分的，这个“分”的过程就是一个有限和无限互相转化的过程。《庄子・天下篇》所说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”就表达了这一过程。一尺之棰，日取其半，这就是一个有限向无限转化的过程，就棰的长度来说，分的过程是无限的，无论分得多么小，总是可以取其长度的一半的，这是一个无限的过程。但是，纯粹的量的分割是有一个极限的，达到了这个极限它就转化为质的差别。作为一定质的棰来说，具体的分割又是可“竭”的，即分到一定的关节点时，就不能保持“棰”之为棰的质了。这个关节点就是“分”的一个极限，它标志着分的过程从无限到有限的转化。这个关节点大约在分到第三十天时达到，这时棰的长度大约是十亿分之一尺，已经小于分子的数量级，这时就不再成为其棰了。可见，“分”的过程是一个有限和无限，质和量的对立统一的过程。在数学中，经常通过极限来实现有限和无限的转化。比如一个收敛的正项级数之和是由无限项组成的，但是它的极限值却是一个具体数值。反过来，在其定义域内正弦函数值是一个具体的数值。但是它却展开为无穷项的级数。再如导数和积分也是某种特殊的极限，因此，也是有限和无限转化的有力工具，数学通过有限和无限转化这一杠杆，可以解决许多实际问题。wWw.lunwen.net.Cn中国论文网免费学术期刊论文发表,目录,论文查重入口,本科毕业论文怎么写,职称论文范文,论文摘要,论文文献资料,毕业论文格式,论文检测降重。 返回历史论文列表
