1 GPS水准拟合模型概述
目前，国内外用于GPS水准高程计算的各种方法主要有：绘等直线图法；解析内差法（包括曲线内差法、三次样条函数法和Akima法）；曲面拟合法（包括多项式曲面拟合法、多面函数法、曲面样条拟合法、移动曲面法、高阶回归方程逼近法和移动曲面法）；加权均值法等。
似大地水准面与椭球面之间的高程差，一般称为高程异常，则正常高与大地高之间的转换关系为：H=H■+ζ（1）
其中，ζ为高程异常。
具体的工作原理为：
图1
1.1 等值线图示法
其原理是：设在某一区内，有m个GPS点用几何水准联测，其中n个点的正常高（联测水准的点称为己知点），根据GPS观测获得的点的大地高，按公式求出n个已知点的高程异常。然后，选定适合的比例尺，按n个已知点的平面坐标（经GPS网平差获得）展绘在图纸上，并标注相应的高程异常，再用1-5cm的等高距，绘出测区的高程异常图。在图上内插出未联测几何水准的（m-n）个点（未联测几何水准的GPS点称为待定点）的高程异常，从而求出这些待定点的正常高。
1.2 解析内插法
在认定沿线似大地水准面为一条连续而光滑的曲线的前提下，可应用解析内插法，求待定点的正常高。其原理是：根据高程控制点的平面坐标及其高程异常值，通过构造一个插值函数来拟合测线方向上的似大地水准面曲线，然后据此内插其它点的高程异常。
1.3 曲面拟合法
当GPS点布设成一定区域面时，可以用数学曲面拟合法求定待定点的正常高。其原理是：根据测区中已知点的平面坐标x、y（或大地坐标B，L）和ζ值，用数值法拟合，拟合出测区似大地水准面，再内插出待求点的ζ，从而求出待求点的正常高。
1.4 加权平均值拟合法
所谓加权平均拟合法，就是由内插点周围部分己知点的高程异常加权平均求得该点的高程异常。设在内插点周围n个已知点，高程异常为ζi，（i=l，2，…n），对应的权为Pi，则内插点j的高程异常为：ζi=■ （2）
式中Pζ=■（P■ζ■），P=■P■
式中的权P■可以根据己知点至内插点的水平距离来计算：P■=■
式中：d■为已知点i至内插点j的水平距离；ε为小正数，以防止权函数的分母趋于0，通常取0.01，单位与d■单位相同。
当已知点离内插点较近时，P■就大，对内插点的贡献大；当己知点离内插点较远时，P■就小，从而对内插点贡献小。但是加权平均拟合法要求各个P■不要相差过大。
这种方法的优点是：计算过程简单，针对性强，通常需要内插的点才进行拟合。但是需要计算每个内插点至己知点的距离，比较繁复，况且需要对每个内插点定权。
1.5 拟合精度评定
为了能客观的评定GPS水准计算的精度，在布设几何水准联测点时，适当多联测几个GPS点，以作外部检核用。
1.5.1 内符合精度
根据参与拟合计算已知点的ζi与拟合值ζi'，用Vi=ζi-ζi'求拟合残差。按照下式求GPS水准拟合的内符合精度：μ■=±■ 其中n为参考点的个数。
1.5.2 外符合精度
根据检核点的ζi与拟合值ζi'之差，按照下式计算GPS水准拟合的外符合精度：ω■=±■ 其中n为检核点的个数。
1.5.3 GPS水准精度评定
1）根据检核点至己知点的距离L（单位：公里），按下表计算检核点拟合残差的限值，以此来评定水准拟合的外符合精度。
2）用GPS水准求出的GPS点间的正常高程差，在己知点间组成符合或闭合高程导线，按计算的闭合差与表1中允许残差比较，来衡量GPS水准达到的精度。
表1 GPS水准限差
2 利用MATLAB实现GPS高程拟合
在MATLAB中实现GPS高程拟合的具体流程图见图1。
图1 GPS高程拟合流程图
编程之前如果坐标（xi，yi）的数值比较大，要进行坐标数据预处理，否则矩阵A的中的数值可能因过大而超界，即系数A在表示成矩阵时首先应该将数据中心化，用 和 分别减去它们的平均值。A可表示为：A=[ones（size（xi））xi yi xi2 xiyi yi2]
按最小二乘法求解拟合系数在MATLAB中有两种方式：
1）x=inv（A′·P·A）（A′·P·L），它是先按照数学最小二乘法则计算出系数的表达式，然后在MATLAB中用矩阵的运算法则进行计算，可以得到拟合系数的最小二乘值。
2）x=A＼ζ，符号“＼”（右除）在MATLAB中有着丰富的意义，它表示求解类似于AX=B形式的方程组，采取的是最小二乘法则，总是寻找最佳的X值，故同样可以得到最佳拟合系数。
3 实例
某沿江地形平缓地区GPS控制网有无粗差且同精度的水准高程点17个，其坐标和大地高、正常高和高程异常如表1所示，数据来自于文献[3]。
将这17个点分为两组，前10个点作为实验数据进行拟合，在MATLAB中分别按x坐标、y坐标、高程异常值ζ的顺序排列存放在矩阵H中，将最后7个数据作为检核数据点，按同样的方法存放在H1中，因为X坐标、Y坐标坐标值较大；故应先将这些数据中心化，即令X=xi-■，Y=yi-■，将x，y，ζ组成新的矩阵，并在MATLAB中按照GPS高程拟合流程图分别用多项式曲线拟合法，平面拟合法，四参数曲面拟合法，六参数曲面拟合法编程实现。
表1 已知点的坐标和大地高、正常高和高程异常
拟合后获得的实验数据点和检核数据点的拟合高程异常值、残差和精度分析如表2。
通过对各拟合模型获得的拟合数据分析，从精度上看，利用六参数拟合法无论是从单个点还是从整体的内，外精度上都达到了毫米级，已经具有很高的拟合精度，完全可以用于平原或丘陵地区的一般工程测量，也可以用GPS高程拟合的方法代替四等水准或普通几何水准测量；其他几种方法也分别达到厘米级甚至毫米级。但是并不是说六参数法拟合是最好的方法，不同的地区还是要与实际相结合，从而优选拟合模型。由表2还可以得到如下结论：
1）GPS点按线状布设时可采用多项式曲线拟合，而在面状地区，则不太适合拟合的次数越多精度不一定就越高，但拟合的次数必须与实际需要相结合。
2）由实验数据的残差值计算可以得到点的内精度，对于检核点的残差值可以得到点的外精度，通常用&mu
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;=±■求出内精度，外精度的值，并结合拟合残差和模型的内外精度来选择拟合模型。3）从拟合残差的总体分布上可以看出各拟合模型精度的高低。拟合精度高说明拟合模型符合拟合区域内高程异常的变化规律。GPS拟合高程精度在较大程度上取决于测区高程异常变化的均匀程度。
4）不同的拟合方法对高程异常拟合值的影响可以达到厘米级，在高程异常的拟合计算中，必须选择合适的拟合方案，通过对各种模型的比较最终选择适合某个地区的拟合模型。
5）采用的已知水准点越多，精度拟合就越高。在实际应用中，对于线状的测区平均每10-15Km应该有一个几何水准点参与拟合；对于面状测区每50Km2应该有一个几何水准点参与计算，这些点应尽可能包围所有的拟合点。在地形复杂的测区，应适当增加水准重合点观测。
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