1 引言
在高中物理中,学习圆周运动时,常常会遇到下面的一个典型题目:
考虑下面两种情况,(1)轻绳:一条质量忽略不计的绳悬挂着一个质点在竖直平面上做圆周运动。(2)轻杆:质点固定在一根轻杆(质量忽略不计)上,在竖直平面上做圆周运动。
问:在这两种情况下,如果质点从最低点A以一定初速度出发,求使它能运动到最高点B的最小初速度v0 。
解:对于轻绳,当质点运动到最高点B时,质点受力为:
F=T+G=T+mg(1)
其中T是轻绳的拉力,G=mg是质点的重力,r为半径,取向下的方向为正方向。根据向心力公式可得:
mv2r=F=T+mg(2)
即质点在最高点B的速度是
v=(Tm+g)r(3)
由于轻绳只能对质点产生拉力,不可能产生推力,当轻绳松弛,拉力取最小值T=0,此时质点的速度取最小值,即
v=gr(4)
考虑到整个过程中只有重力做工,机械能守恒, 即
12mv20=12mv2+2mgr(5)
不难得出,质点在最低点A的初速度的最小值为:
v0=5gr(6)
对于轻杆,同样分析得到公式(2)和公式(3),然而,杆不仅可以对质点施加拉力,也可以施加推力,因此,T的最小值不是0,可以取负值!当T=-mg时,
mv2r=0(7)
所以,质点在最高点B的速度为v=0,根据机械能守恒,得出质点在最低点A的初速度的最小值为:
v0=2gr(8)
可见这两种情况是不同的,轻绳情况下质点要运动到最高点B需要比轻杆情况下更高的初速度。
然而,上述计算只回答了质点运动到最高点B需要的最小初速度,却没有回答(1)如果质点初速度小于该值,会发生什么情况?(2)从动力学角度看,轻绳和轻杆对于质点的作用究竟有什么区别,导致如此不同的结果?下面我们就详细讨论两种情况下质点的受力及运动规律,探究事情的原因。 2轻绳
由上述计算结果可知,轻绳情况下,质v0=2gr点运动到最高点B的速度不为零,换句话说,如果质点在最低点A仅仅具有的初速度,那么,它是不可能做圆周运动直到最高点B的。在此前的某一时刻,质点的运动就脱离圆周了。下面我们给出证明。
考虑图1上的C点,其半径和竖直方向的夹角为θ,质点的运动速度为v,则根据牛顿第二定律,沿半径方向有:
T+mgcosθ=mv2r(9)
此时,如果轻绳已经松弛,T=0,所以
mgcos=mv2r(10)
另一方面,根据机械能守恒定律可得
12mv20=12mv2+mgr(1+cosθ)(11)
将(10)带入(11)可得
cosθ=23(12)
当质点运动到θ=arcos23的位置C点时,当它欲继续沿圆周上升时,重力的径向分量mgcosθ继续增大,而由于机械能守恒,质点的速度会进一步减小,则在公式(9)中,重力的径向分量就会大于质点做圆周运动所需的向心力,换句话说,轻绳对质点的作用力必须为负值(推力),而这是不可能的!因此,质点从C点开始就不能再做圆周运动了。这个点可以叫做质点运动的临界点。考虑到此时轻绳已经松弛,质点仅受重力作用,而它具有v切向速度,所以,它将做斜抛运动。注意质点做斜抛运动以后某一给时刻,轻绳会重新张紧,质点的运动状态会再度发生变换。不过这个问题就不在本文讨论范围内了,可以忽略。
最后,我们可以得出结论:对于轻绳来说,只要质点的初始速度小于,那么它都不可能做圆周运动达到最高点B,而是在此前的某一点(临界点)就脱离圆周变成了斜抛运动。
3轻杆
轻杆的情况可以类似地分析。
假定质点在最低点A的初始速度为v0=2gr,在C点,夹角为θ,质点的运动速度为v,则
T+mgcosθ=mv2r(13)
同样,此时轻杆对质点的拉力T=0。然而,随着质点进一步沿圆周运动,重力的径向分量mgcosθ继续增大,而由于机械能守恒,质点的速度会进一步减小,此时轻杆对质点的拉力T转变成负值,也就是说,它对质点施加的是推力。不同于轻绳,杆是完全可能对质点施加推力的。因此,质点继续沿圆周上升,重力的径向分量mgcosθ继续增大,相应地轻杆对质点的推力也随之增大,这两个力的方向相反,始终保证公式(13)成立,质点可以继续沿圆周运动。可见,C点是轻杆对质点的作用力由拉力转变成推力的临界点。但是质点在经过C点前后运动状态并未发生变化,始终是做圆周运动。根据机械能守恒定律,质点到达最高点B时,其速度为零,此时
T+mg=0T=-mg(14)
即此时轻杆对质点的施加向上的推力,其大小等于质点的重力。
最后,我们可以得出结论:对于轻杆来说,只要质点的初始速度大于等于2gr,它就可以沿圆周运动到达最高点B,只是该过程中轻杆对质点的作用力的方向发生了变化,最初是拉力,后来转变成了推力。
4讨论
对于轻绳和轻杆的两种情况,它的共同点是都遵守机械能守恒定律,区别是,质点要做圆周运动,必须提供向心力,而且向心力的大小与质点的速度有关的。
F向心力=mv2r(15)
在竖直平面上,质点只受到地球施加的重力和轻绳(轻杆)施加的作用力,只有两者的合力在径向方向上的分量能够提供满足公式(15)的向心力时,质点才能够继续在圆周上运动下去。轻绳不能做到,而轻杆能够做到,这就是两者的区别。
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