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1．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，求PA＋PB的最小值。
如图
过点A作直径MN的垂线，交圆O于点A'
则，A、A'关于MN对称，即：
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MN为AA'的垂直平分线连接A'B与MN交于点P，此时PA+PB就最小
【因为MN为AA'的垂直平分线
所以，PA=PA'
那么，PA+PB=PA'+PB=A'B
在MN上取异于点P的一点Q
那么，QA+QB=QA'+QB
很显然，在△QA'B中，根据三角形两边之和大于第三边就有：
QA+QB＞A'B
所以，点P即是满足条件的点】
已知∠AMN=30°，点B为弧AN中点
所以，∠BMN=∠AMN/2=30°/2=15°
而，点A、A'关于MN对称
所以，∠A'MN=∠AMN=30°
则，∠BMA'=∠BMN+∠A'MN=15°+30°=45°
所以，∠BAA'=∠BMA'=45°【同弧所对的圆周角相等】
又因为，△BAA'为圆O的内接三角形
所以，由正弦定理得到：A'B/sin∠BAA'=2R
===> A'B=2R*sin∠BAA'=2*1*sin45°
===> A'B=2*(√2/2)
===> A'B=√2
即，PA+PB的最小值为√2
2。 如图,直径AB、CD相互垂直，P为劣弧BC上任意一点，连PC、PA、PD、PB，下列结论：①∠APC=∠DPE；②∠AED=∠DFA；③(CP+DP)/(BP+AP)=AP/DP ，中正确的是( )。
（A）①③。 （B）只有①。 （C）只有②。 （D）①②③。
①
因为直径AB、CD互相垂直
所以，弧AC=AD=BC=BD=(1/4)圆周
所以，∠APC=∠DPE(A)=45°
结论①正确
②因为AB⊥CD
所以，∠AED=90°-∠EAO=90°-∠PAB
∠DFA=90°-∠ODF=90°-∠PDC
所以，只有当点P为劣弧BC中点时，有∠PAB=∠PDC
此时，才满足∠AED=∠DFA
所以，结论②错误
③
因为AB、CD为直径
所以，△APB和△DPC均为直角三角形
假设结论成立
那么：(CP+DP)*DP=(BP+AP)*AP
===> CP*DP+DP^2=BP*AP+AP^2
===> CP*DP+(DC^2-PC^2)=BP*AP+(AB^2-PB^2)
===> CP*DP-PC^2=BP*AP-BP^2
设CP=x，BP=y，圆O直径AB=CD=d
则，DP^2=CD^2-CP^2=d^2-x^2
所以，DP=√(d^2-x^2)
同理，AP=√(d^2-y^2)
那么：x*√(d^2-x^2)-x^2=y*√(d^2-y^2)-y^2
可见，也只有x=y，即CP=BP，亦即点P为劣弧BC中点时满足
所以，结论③错误
综上：只有结论①正确。
答案：B。
1.解：作辅助线：做B关于直径MN的对称点B'
∠AON=60度，∠BON=∠B'ON=30度--->∠AOB'=90°
AP+BP=AP+B'P≥AB'=√2（两边之和大于第三边）。
所以：当P点位于线段段AB'上（AB’与MN的交点）时，AP+BP有最小值√2 。
2.选B。
∠APC=∠DPE=45°。其余的两个选项不对。
分析：②∠AED=∠DFA不对， ∠AED=90°-∠A， ∠DFA=90°-∠D， ∠A与∠D所对应的弧度与P点的位置有关，所以：②∠AED=∠DFA选项不对。
③选项也与P的位置有关，不成比例。
1．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，求PA＋PB的最小值。
在MN另一侧作C点，使NC=NB，
连AC，交MN与P，
则，PA+PB最小=√2
2.如图,直径AB、CD相互垂直，P为 上任意一点，
连PC、PA、PD、PB，下列结论：①∠APC=∠DPE；
②∠AED=∠DFA；③ ，中正确的是( ).
（A）①③. （B）只有①. （C）只有②. （D）①②③.
（D）①②③.因为我已经确定了①②是正确的，而题中3的表达不清楚！
方法：利用圆周角，园内角，与弧的关系！.
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