今天中国论文网小编为大家分享毕业论文、职称论文、论文查重、论文范文、硕博论文库、论文写作格式等内容.1. 环的同态与反同态
设E与F为两个群胚，两个幺半群，两个群，两个环，两个向量空间，两个代数或两个酉代数。称从E到F中的映射f是同构，如果f有逆映射，并且f与f-1是两个同态。
2. 环的同态与反同态定义单位又被称为可逆元。在数学里，于一(有单位的)环 的可逆元，即一元素 内的 ，其中 是 的可逆元组成了一于乘法下的群的可逆元群。可逆元群U(R)有时亦被标记成R*或R×。
在一可交换单作环R内，可逆元群U(R)以乘法作用于R上头。此一作用的轨道(orbit)被称为结合集合；换句话说，存在一于R上的等价关系 ~ ，且当r~s时，表示存在一可逆元u使得r=us。
U是一由环范畴至群范畴的函子：
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每一个环同态 f : R → S 都可导出一群同态U(f) : U(R) → U(S)，当f会将可逆元映射至可逆元时。此一函数子有为整数群环结构的左伴随。一个环R是一个除环当且仅当R* = R {0}。
3. 群同态和环同态区别环的同态基本定理
(1) R 是环，S 是它的理想，则R 到商环S
R 有满同态()S a a +=ηη:，S a ∈?， 称为R 到S
R 的自然同态； (2) R ，R '是环，?是环R 到环R '的满同态，令?Ker K =，则商环K R 与环R '
同构．
证明 (1) ()()()()()b a S b S a S b a b a ηηη+=+++=++=+， ()()()()()b a S b S a S ab ab ηηη=++=+=，()S +=11η．
故η保持加法和乘法，且把单位元映成单位元，它是同态．又
()(){}{}S R R a S a R a a R =∈+=∈=ηη，
即η是满同态．
(2) 首先，作为像集合()()a K a ??=+．这是因为K 中任一元k 在?下的像为零，则
()()()()()a a k a K a ?????=+=+=+0． 由此有K R 到R '的映射
R S
R '?→?? ()()a K a K a ??=++ ．
又
()()K b K a +++ψψ
＝()()()()K b a b a b a ++=+=+ψ???
＝()()()K b K a +++ψ，
()()K b K a ++ψψ
＝()()()()K ab ab b a +==ψ???
＝()()()K b K a ++ψ，
4. 环同态怎么求设R是一个有1的环, 则存在唯一的环同态φ: Z → R, 满足φ(1) = 1.ker(φ)作为Z的理想, 存在非负整数n, 使ker(φ) = (n), 称n为环R的特征.当R = Z, φ: Z → R是恒等映射, 因此ker(φ) = {0} = (0), 故整数环Z的特征为0.定义虽然抽象, 也可以相对具体的理解:在R中考虑序列: 1, 1+1, 1+1+1,...若序列中有0, 则R的特征为首次得0的项数, 即最小的相加得0的次数.若序列中没有0, 则R的特征为0.当R = Z, 上述序列即1, 2, 3,..., 其中没有0, 故Z的特征为0.
5. 环的同态映射单位又被称为可逆元。在数学里，于一(有单位的)环 的可逆元，即一元素 内的 ，其中 是 的可逆元组成了一于乘法下的群的可逆元群。可逆元群U(R)有时亦被标记成R*或R×。
在一可交换单作环R内，可逆元群U(R)以乘法作用于R上头。此一作用的轨道(orbit)被称为结合集合；换句话说，存在一于R上的等价关系 ~ ，且当r~s时，表示存在一可逆元u使得r=us。
U是一由环范畴至群范畴的函子：每一个环同态 f : R → S 都可导出一群同态U(f) : U(R) → U(S)，当f会将可逆元映射至可逆元时。此一函数子有为整数群环结构的左伴随。
一个环R是一个除环当且仅当R* = R {0}。
6. 环的同态证明题及其答案抽象代数理想是指在某个环中对于某种运算封闭的子集，且满足加法和乘法的结合律、分配律以及有乘法单位元存在且任何元素都存在相反元素。这个子集一般表示为I，可以通过以下方式描述：对于环R的元素a和b，若存在i∈I满足a+i=b，则称b可以被a在I中左消。若存在i∈I满足a+i=b，则称b可以被a在I中右消。若a和b都可以被对方在I中左消和右消，则称a和b在I中关于加法和乘法等价。理想在抽象代数中有着重要的地位，是研究环、域、群等代数结构的基础。
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