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环同态,环的同态与同构的基本性质

2024-06-05  本文已影响 246人 

今天中国论文网小编为大家分享毕业论文、职称论文、论文查重、论文范文、硕博论文库、论文写作格式等内容.1. 环的同态与反同态

设E与F为两个群胚,两个幺半群,两个群,两个环,两个向量空间,两个代数或两个酉代数。称从E到F中的映射f是同构,如果f有逆映射,并且f与f-1是两个同态。

2. 环的同态与反同态定义

单位又被称为可逆元。在数学里,于一(有单位的)环 的可逆元,即一元素 内的 ,其中 是 的可逆元组成了一于乘法下的群的可逆元群。可逆元群U(R)有时亦被标记成R*或R×。

在一可交换单作环R内,可逆元群U(R)以乘法作用于R上头。此一作用的轨道(orbit)被称为结合集合;换句话说,存在一于R上的等价关系 ~ ,且当r~s时,表示存在一可逆元u使得r=us。

U是一由环范畴至群范畴的函子:

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每一个环同态 f : R → S 都可导出一群同态U(f) : U(R) → U(S),当f会将可逆元映射至可逆元时。此一函数子有为整数群环结构的左伴随。

一个环R是一个除环当且仅当R* = R {0}。

3. 群同态和环同态区别

环的同态基本定理

(1) R 是环,S 是它的理想,则R 到商环S

R 有满同态()S a a +=ηη:,S a ∈?, 称为R 到S

R 的自然同态; (2) R ,R '是环,?是环R 到环R '的满同态,令?Ker K =,则商环K R 与环R '

同构.

证明 (1) ()()()()()b a S b S a S b a b a ηηη+=+++=++=+, ()()()()()b a S b S a S ab ab ηηη=++=+=,()S +=11η.

故η保持加法和乘法,且把单位元映成单位元,它是同态.又

()(){}{}S R R a S a R a a R =∈+=∈=ηη,

即η是满同态.

(2) 首先,作为像集合()()a K a ??=+.这是因为K 中任一元k 在?下的像为零,则

()()()()()a a k a K a ?????=+=+=+0. 由此有K R 到R '的映射

R S

R '?→?? ()()a K a K a ??=++ .

()()K b K a +++ψψ

=()()()()K b a b a b a ++=+=+ψ???

=()()()K b K a +++ψ,

()()K b K a ++ψψ

=()()()()K ab ab b a +==ψ???

=()()()K b K a ++ψ,

4. 环同态怎么求

设R是一个有1的环, 则存在唯一的环同态φ: Z → R, 满足φ(1) = 1.ker(φ)作为Z的理想, 存在非负整数n, 使ker(φ) = (n), 称n为环R的特征.当R = Z, φ: Z → R是恒等映射, 因此ker(φ) = {0} = (0), 故整数环Z的特征为0.定义虽然抽象, 也可以相对具体的理解:在R中考虑序列: 1, 1+1, 1+1+1,...若序列中有0, 则R的特征为首次得0的项数, 即最小的相加得0的次数.若序列中没有0, 则R的特征为0.当R = Z, 上述序列即1, 2, 3,..., 其中没有0, 故Z的特征为0.

5. 环的同态映射

单位又被称为可逆元。在数学里,于一(有单位的)环 的可逆元,即一元素 内的 ,其中 是 的可逆元组成了一于乘法下的群的可逆元群。可逆元群U(R)有时亦被标记成R*或R×。

在一可交换单作环R内,可逆元群U(R)以乘法作用于R上头。此一作用的轨道(orbit)被称为结合集合;换句话说,存在一于R上的等价关系 ~ ,且当r~s时,表示存在一可逆元u使得r=us。

U是一由环范畴至群范畴的函子:每一个环同态 f : R → S 都可导出一群同态U(f) : U(R) → U(S),当f会将可逆元映射至可逆元时。此一函数子有为整数群环结构的左伴随。

一个环R是一个除环当且仅当R* = R {0}。

6. 环的同态证明题及其答案

抽象代数理想是指在某个环中对于某种运算封闭的子集,且满足加法和乘法的结合律、分配律以及有乘法单位元存在且任何元素都存在相反元素。这个子集一般表示为I,可以通过以下方式描述:对于环R的元素a和b,若存在i∈I满足a+i=b,则称b可以被a在I中左消。若存在i∈I满足a+i=b,则称b可以被a在I中右消。若a和b都可以被对方在I中左消和右消,则称a和b在I中关于加法和乘法等价。理想在抽象代数中有着重要的地位,是研究环、域、群等代数结构的基础。

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