摘 要：灵敏度是研究参数不确定性对系统性能影响的一门学问，能够反映系统性能对干扰和摄动的敏感程度。变结构控制变结构控制是一种控制系统的设计方法，适用于线线性及非线性系统，具有良好的鲁棒性，尤其是对加给系统的摄动和干扰有良好的自适应性。在实际应用中，多采用准滑动模态控制。本文主要以两轮自平衡小车为例，利用灵敏度理论，对准滑模变结构控制鲁棒性进行分析。通过仿真结果得出，越小，控制器鲁棒性越好。
关键词：灵敏度 变结构控制 准滑模 两轮自平衡小车 鲁棒性
1.引言
灵敏度是研究参数不确定性对系统性能影响的一门学问，能够反映系统性能对干扰和摄动的敏感程度。变结构控制变结构控制是一种控制系统的设计方法，适用于线线性及非线性系统，具有良好的鲁棒性，尤其是对加给系统的摄动和干扰有良好的自适应性。20世纪80年代Slotine等在滑动模态控制的设计中引入了“准滑动模态”和“边界层”概念。所谓的准滑动模态，是指系统的运动轨迹被限制在理想滑动模态的某一领域内的模态。从相轨迹方面来说，具有理想滑动模态的控制是使一定范围内的状态点均被吸引至切换面。而准滑动模态控制则是使一定范围内的状态点均被吸引至切换面的某一领域内，所谓领域就是滑动模态切换面的边界层。两轮自平衡小车是一个高度不稳定两轮机器人，其动力学系统具有非线性、多变量、强耦合、时变、参数不确定等特性，因此该系统成为变结构控制的一个理想平台。
2.小车系统模型
在忽略空气流动，车体与轴以及车轮与地面的摩擦力。车体质量，车轮及轴质量，车体质心到车体转动中心距离，车轮半径R，重力速度g，车体转动惯量，车轮及轴转动惯量，车轮水平位移，车体偏离垂直方向的角度，车轮的转矩。
取，系统输入为，由力学建模，可得系统地非线性方程为：
（1）
在零点的线性化得模型模式为：
（2）
3.灵敏度函数和补偿灵敏度函数及准滑模变结构控制器设计
3.1灵敏度函数和补灵敏度函数
先在这里介绍两个重要的函数：
， （3）
其中为控制对象，为控制器。
S在系统灵敏度中，表达了闭环系统的输出量和与之等效的开环系统输出量的比值，称为比较灵敏度。本文都简称灵敏度函数。T为补灵敏度函数。
当系统存在干扰，摄动以及测量噪声。参考输入为r为0，这时候系统开环系统输出方程，可以写为：
（4）
闭环系统输出方程可写为：
（5）
其中为输出，为摄动，为干扰, 为噪声。从这个式子，可以看出灵敏度函数对干扰，摄动以及噪声的作用。当S大于1时，闭环系统的参数稳健性比与之等效的开环系统要差。
系统存在干扰或摄动时，都可以看成对象发生了变化。考虑一个反馈系统，根据奈奎斯特图，可以知道，只要对象变化满足下列式子：
（6）
系统就会保持稳定。两边同除以得：
（7）
由上式可以看出，对象变化对闭环系统稳定，跟补灵敏度函数很有关系的。补灵敏度函数越小，对对象变化就有越好的抵抗能力。
进一步分析灵敏度函数和补灵敏度函数的关系
（8）
如果换成对数，可以写为：
（9）
灵敏度函数也可以看成闭环系统对对象变化的敏感程度。
，最大灵敏度是对干扰和摄动最差的地方，发生在处；，最大补灵敏度值是保持闭环系统稳定的，对象可以变化最小的地方，发生在处。灵敏度与S=1的第一个交界频率。这几个参数都是非常重要的。
根据伯德值积分定理，对任何一个具有开环极点比零点多两个以上的稳定控制系统而言，有下边这个式子：
=0，灵敏度函数幅值的对数平均值为0，即在0分贝线上下S大于1和小于1的面积相等。
对于单输入单输出系统来说，伯德定理的条件总是满足的。这样很大一部分频段的灵敏度函数幅值大于1。而对于状态反馈来说，伯德值要求的条件不会出现，开环传递函数极点比零点不可能更多于1。因此，对状态反馈来说，在全频段会有更好地稳健性。下边进一步灵敏度分析的时候，采用状态反馈的方法。
对于小车线性化模型来说，状态反馈结构图为：
图1 状态反馈结构图
进一步变换，得到输出反馈的结构图：
图2 输出反馈结构图
其中p1=；p2=；p4=。可得该反馈环节的传递函数为：
（10）
所以状态反馈的灵敏度函数为：，补灵敏度函数为：
需要注意的是，此时闭环传递函数为：。
3.2 准滑动模态变结构控制器设计
变结构控制器的设计是基于线性化后的模型的，非线性因素当作叠加在系统上的参数扰动来对待。由式（2）得到
（11）
取趋近律为，其中M为趋近速度
选择切换函数：
（12）
为了保证滑动模态运动渐进稳定并具有良好得动态品质，滑动模态运动方程
=0 （13）
对(2－3)式进行零极点配置方法，选择四个极点分别为，，-15，-20，得到：
由，求出
准滑动模态是指系统的运动轨迹被限制在理想滑动模态的某一领域（滑动模态切换面的边界层）内的模态。在边界层内，准滑动模态不要求满足滑动模态的存在条件，因此准滑动模态不要求在切换面上进行控制结构的切换。它可以是在边界层上进行结构变换的控制系统，也可以是根本不进行结构变换的连续状态反馈控制系统。准滑动模态控制在实现上的这种差别，使它从根本上避免或削弱了抖振。
取
图3 sat(s)图像
这样可以取如下趋近率：
由
得
4.实验及结果
， k=5保持固定不变，令分别等于0.01，0.05，0.1
图4 灵敏度函数和互补灵敏函数伯德幅值曲线(=0.01，0.05，0.1）
由可知，在的邻域内，具有非常好的灵敏度函数和最大互补灵敏度，一直到非常高的频率，灵敏度才趋近于1。相对于普通状态反馈控制系统，变结构控制系统准滑模状态具有非常好的鲁棒性。当变小时，两轮自平衡小车控制系统灵敏度函数伯德幅值变小，最大互补灵敏度也变小，具有更好的鲁棒性。准滑模虽然可以减小抖振，却是以减弱鲁棒性作为代价。在控制信号抖振可接受范围内，设计准滑动模态变结构控制器，可以尽量缩小边界层范围，可以有效提高整体控制系统鲁棒性。
参考文献：
[1]罗健 系统灵敏度理论导论 西北工业大学出版社 1990年3月第1版
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[3]刘金锟 滑模变结构控制MATLAB仿真 清华大学出版社 2005.10
[4]姚琼荟，黄继起，吴汉松 变结构控制系统 重庆大学出版社 1997
[5]刘豹 现代控制理论 机械工业出版社 2000年5月第2版
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