数学对物理化学的应用

　　高中数学核心素养中的数学运算、数学建模、逻辑推理等方法在解答物理、化学题中具有非常重要的作用，数学抽象、直观想象、数据分析核心素养在物理、化学教学中也多用到。对中学生来说，若能很好地利用数学这个工具去处理物理、化学问题，那么一些物理、化学难题便会迎刃而解，进而提高学习效率，培养创新意识。现举例分析如下：

　　一、数学在物理学习中的具体应用

　　（一）将均值不等式用于求解物理中的最值问题

　　均值定理：a+b≥2ab（a≥0，b≥0），若ab=p（定值），当a=b时，（a+b）有最小值2P；若a+b＝M（定值），当a=b时，ab有最大值22M。使用均值不等式求最值时，要遵循“一正、二定、三相等”三步骤，三者缺一不可，若不满足，应化归转化条件，运用转化思想、逻辑推理、数学运算和数学建模等进行解答。【例1】己知电动势为ε，内阻为r的电源，当外电路电阻R为多大时，电源输出功率最大？【解析】要求电源输出动率的最大值，须列出输出功率关于外电阻R的函数表达式，然后求这个函数的最大值。根据公式很容易求出P出=I2R=ε+2RRr，其中ε，r为已知，R为自变量。这样只须求出这个函数的最大值即可。解答过程如下：P=ε+2RRr=ε++222rRrR≤!!"!#!槡$%&'()*&'(!"+,&)"+,&!%)*))"")%%-'(=ε24r，当且仅当R=2rR，即R＝r时，等号成立。这道题直接运用均值不等式a+b≥2ab（a＞0，b＞0）求解，简洁、明了。

　　（二）函数图象在解物理题中的应用

　　在解答物理问题的过程中，学生经常遇到一些物理计算式与方程、不等式、分段函数、几何图形密切相关。当学生遇到这种物理问题的时候，我们要引导学生根据题意建立函数模型，利用数形结合思想解决问题。比如下面两个例子。【例2】由功率定义式可知P出=U路·I。而U路=ε-Ir，是一个关于I的一次函数，其图象是一条直线。不妨以I为横纵，U路为纵轴建立坐标系，如图1所示。这条直线与坐标轴围成一个直角三角形εOI短。从直线上的一点A作三角形的内接矩形，则矩形面积的数值就等于电源的输出功率的数值，即P=UI′。图1由数学知识可知，当A为直线中点时内接矩形面积最大，即输出的功率最大。而R＝U／I′＝tan，由图可以得到△OAI′≌△I′AI短，即＝，故R＝tan＝tan＝ε／I短＝r。【例3】匀强电场的场强E=2.0×103v·m-1，方向水平。电场中有两个带电质点，它们的质量均m=1.0×10-5kg。质点A带负电，质点B带正电，电量皆为q=1.0×10-9C。开始时，两质点位于同一等势面上，A的初速度VA0=2.0m/s，B的初速度VB0=1.2m/s，这两个速度的方向均沿场强方向。在以后的运动过程中，若用ΔS表示任一时刻两质点间的水平距离。问当ΔS的数值在什么范围内，可判断哪个质点在前面（规定图2－1中右方为前）。当ΔS的数值在什么范围内，不可判断谁前谁后？时刻变化，怎么可能仅凭ΔS便可判断出前后顺序呢？这时可别只想着单一地利用物理知识来求解，要把数学知识与物理知识结合起来进行综合分析。那么怎样才能将之与数学思想方法联系起来呢？由物理知识我们知道，两物体的位移均是时间t的二次函数，距离ΔS也应是关于t的二次函数，只须讨论ΔS的值域，即二次函数的值域就可以解决问题。由物理情景知：t＜2s时，A在前，A的速度大于B的速度，A和B距离在增大；当t＝2s时，A和B的速度相等，A和B相距最远，ΔS最远为0.8m；当2s＜t＜4s时，B的速度大于A的速度，B追A，距离在拉近；当t＝4s时，B追上A，ΔS＝0。即当0＜t＜4时，A在前，ΔS由0增加到0.8米又由0.8米减小至0。当t＞4s时，B在前且加速，A在后减速，A不可能再追上B，ΔS由0开始一直增大。所以当0≤ΔS≤0.8时，有可能A在前也有可能B在前，但是ΔS＞0.8后，一定是B在前。图象判断：由t可判断谁在前，那么只须找ΔS与t的关系即可用ΔS来判断谁在前。对某个△S，若对应的t值在两个区间（0，4）及（4，＋∞）时，不能判断；对某个ΔS对应的t值唯一，那么便可判断谁在前。由图2-2知，当0≤ΔS≤0.8时，对应的t值在（0，4）及（4，＋∞）两个区间；当ΔS＞0.8时，对应一个区间（4，＋∞）。故当0≤ΔS≤0.8时，不能判断；ΔS＞0.8时，可判断B在A前方。

　　（三）几何知识与三角函数知识在解物理题中的应用

　　物理问题中常存在几何关系，因此可将物理中有关问题转化为数学中的几何图形关系问题，再利用几何知识和方法解决。有些力学问题、光学问题和电学问题除了用几何知识，还可用三角函数知识来解答，如解三角形模型的物理，可利用三角函数的有界性，求某一变量的最大值或最小值等。【例4】如图3，在斜槽ABCD中，各面动摩擦因子相同，一小球从A处由静止开始滚下，经AB、BC、CD，至D点停下，AD与BC夹角为，试求球与斜槽的动摩擦因子。此题难度较大，难点在于怎样作辅助线，找出几何关系。数学基础好的学生能敏锐地找出隐藏在题目中的几何关系，巧妙地利用数形结合思想和三角函数知识解答。【例5】如图4－1所示，A为带正电荷Q的金属板，沿金属板的垂直平分线在距离板r处放一质量为m、电荷量为q的小球，小球受水平向右的电场力作用而偏转角后静止。设小球是用绝缘丝线悬挂于O点，求小球住处的电场强度。此题利用数形结合思想，用解三角形知识解答，发展了学生的逻辑推理、直观想象等核心素养。可见，恰当地把数学抽象、直观想象、数学建模等数学核心素养、简明的数形结合思想应用于解答物理问题中，能使物理问题更清晰明了，有利于我们分析物理过程和题目的求解。函数、等差数列、等比数列、参数方程、极坐标方程、求极限和导数等知识和方法都可广泛地应用于物理学习中，帮助我们求解物理问题。

　　二、数学在化学学习中的具体应用

　　（一）分类讨论思想在求解化学计算题中的应用

　　分类讨论思想是一种重要的数学思想，它蕴含严密的逻辑推理这一数学核心素养。这种思想方法能帮助我们准确地把握分类标准，使我们的思维更俱全面性。因其要求的能力较高，难度较大，所以许多化学计算题的压轴题都涉及分类讨论思想。请看下例：【例6】写出H2S燃烧的化学方程式。1.0LH2S气体在aL空气混合点燃后，若反应后气体的温度和压强都不变，均为20℃，1.01×105Pa。试讨论a的取值范围不同时，燃烧后气体的总体V（用含a的表达式表示，假定空气中O2占空气的15）H2S与O2反应产物可能有多种，而题目所给空气体积a是个不确定值，产物到底是什么呢？在数学中常要对一些不确定量进行分类讨论，因此，我们可以利用数学中的分类讨论思想方法对不确定的a进行讨论，可很快地解答问题。（解略）在解题中，利用数学分类思想方法进行讨论时，会遇到两个难点：①如何选取分类标准，即如何寻找不定量的不同区间，并以此进行讨论；②如何做到讨论全面、准确。在化学的分类讨论中难点①已不存在，因分类区间已经给出限定，按化学方程式系数比即可写出，因此我们只需讨论难点②。因此化学的分类讨论题难度明显比数学讨论题容易得多。但若要运用数学分类讨论思想来解决的化学问题则会比解其他化学题难得多，它对数学抽象、数学运算等数学核心素养要求较高。

　　（二）不完全归纳法在化学中的灵活应用

　　不完全归纳法的本质就是由特殊到一般的思维方法，通过少数几个具体情况归纳出一般规律，它与数学归纳法不同的是它不需要严格证明。请看下面例题。【例7】己知有一系列的有机物如图5所示，求它的分子式通式。【解析】经观察得知，每增加一个环，即增加4个C，4个H。由数学中的等差数列知识可知，其所求分子式通式为C4n+2H4n+2。由此可见，利用不完全归纳法解答一些选择题或填空题，往往能出奇制胜。

　　（三）方程思想在化学计算中的应用

　　化学计算题中有很大一部分要列出方程求解。具体来说，就是设出题目中要求的几个未知量，根据反应的关系列出几个方程，组成一个方程组，然后进行求解。这种题与数学中的应用题十分相似，只不过数学应用题是依据题目文字叙述及一些递推关系列方程，且条件隐蔽性更强，列方程的难度更大。请看下面例题。【例8】有一些含杂质CaCO3的Na2CO3共11.6克，加入过量的盐酸产生气体2.46升，求CaCO3和Na2CO3的质量。【解析】题目有两个待求量，可设CaCO3和Na2CO3分别为X克，Y克，则X＋Y＝11.6　　　　　　　　　　①再分析题给信息，产生的气体CO2有2.46升，即0.11（md），而CaCO3、Na2CO3与盐酸反应都产生CO2，且每md的CaCO3或Na2CO3都产生1md的CO2。那么产生CO2物质的量就等于CaCO3产生的CO2与Na2CO3产生的CO2的物质的量之和。由①②联立方程组可解得X＝1克，Y＝10.6克。在解题中，如果能把解数学应用题及其他数学题的数学建模、数学运算等方法应用于化学计算题中，那么问题便容易得以解决。

　　（四）立体几何知识在化学中的应用

　　要想理解和掌握好原子、分子、化学键、晶体等微观结构，我们需要有一定的三维想象能力。因为这些微观结构虽然具有高度对称性，但都比较复杂，在日常的生活中很难看得到，所以学生难以理解。因此，教师要把所学的立体几何知识及丰富的空间想象力应用其中，由图中的一个结构想象出整个晶体排布，或画出其立体图或某个截面图，才能对晶体结构有一个清晰的认识。比如下面的例题。【例9】（高考题改编）己知C60结构是形如球状的多面体，其分子中每个碳原子又跟三个质子形成化学键，并且C60分子中R含五边形和六边形，求C60中五边形数和六边形数。【解析】设有X个五边形，有Y个六边形，则在此多面体中有60个顶点，而每个顶点对应三条棱，每条棱连接两个顶点。故有多面体中棱数为60×3÷2＝90（条）；由欧拉定理知，顶点数＋面数－棱的条数＝2，即面数＝2＋棱的条数－顶点数＝2＋90－60＝32；所以，X＋Y＝32。又由对应思想知，每个五边形有5条边，每个六边形有6条边，而每条棱对应两个面。所以，（5X＋6Y）÷2＝棱的条数＝90，即5X＋6Y＝180；又X＋Y＝32，解出X＝12，Y＝20；所以C60中五边形数为12，六边形数为20。此题看似化学问题，但根本用不上任何化学知识来求解。如果学生没能将之转化为数学问题，那么就不可能做出来。对这种只以化学为基本素材的“数学题”，就要想一想，它与哪些数学知识有关。如果能想到对应原理和欧拉定理，那么就能迎刃而解。由此可见，如果能把数学思想方法应用于求解化学难题中，那么往往就能化难为易，化复杂为简单，从而轻松解题。在教学中，我们如果能将数学知识及其思想方法应用于物理、化学的学习中，那么就能较好地培养学生综合能力，提高学生的智力，促进学生发展。

　　作者：欧阳群壮 欧阳双 单位：桂林十八中 桂林旅游学院